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Bilden der Stammfunktion - lineare Verkettung

Schüler Gymnasium,

Tags: lineare Verkettung, Stammfunktion

menny aktiv_icon

14:06 Uhr, 01.12.2012

Hallo Leute,
Für meine Matheklausur muss ich Stammfunktionen von linearen Verkettungen bilden können.
Ich kenne diese Verkettungen schon vom Ableiten, da macht man es ja mit innerer und äußerer Funktion (v(x) u. u(v)).
Doch was genau verstehe ich jetzt unter einer linearen Verkettung, und wie kann ich eine solche aufleiten?
Kann mir das einer mal Schritt für Schritt! an einem Bsp wie z.B.: (5x+3)^5 erklären?
Danke!!!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Stammfunktion
ln-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

prodomo aktiv_icon

15:59 Uhr, 01.12.2012

Ein bekannterer Name ist Substitutionsmethode. Gemeint ist, dass man die beim Ableiten entstehende innere Ableitung in die Stammfunktion einbezieht. Formell setzt man

z = 5 \cdot x + 3

und erhält die innere Ableitung

\frac{d z}{d x} = 5

. Jetzt ersetzt man im Integral die

{(5 \cdot x + 3)}^{4}

durch

z^{4}

und das

d x

durch

\frac{1}{5} \cdot d z

und rechnet die Grenzen um. Die Stammfunktion ist dann

\frac{1}{25} \cdot {(5 \cdot x + 3)}^{5}

. Probe durch Ableiten.

menny aktiv_icon

16:04 Uhr, 01.12.2012

Danke, dass du eine Antwort geschrieben hast!! Ich dachte schon, dass wird nix mehr...

Aber so ganz verstanden habe ich es ehrlich gesagt noch nicht. Also in der Schule haben wir so eine ähnliche Aufgabe gelöst:
(2x+2)^3
Dann innere und äußere Funktion bestimmt, und ab dann weiß ich nicht mehr wieso wir das so gemacht haben.
Auf einmal schreiben wir dann nämlich 1/2 * 1/4 * (2x+2)^4
und fertig ?!?
Ich kann mir das überhaupt nicht zurückleiten ? :(

prodomo aktiv_icon

11:11 Uhr, 02.12.2012

Ich mache das mal mit deinem Beispiel. Es soll

F' (x) = {(2 \cdot x + 2)}^{3}

sein. Was man weiß, ist, dass aus

f (z) = z^{3}

dann

F (x) = \frac{z^{4}}{4} + C

folgt. Diese Regel gilt aber nur, wenn man

z^{3}

hat und nicht

{(2 \cdot x + 2)}^{3}

. Um eine solche Form zu bekommen, setzt man

z = 2 \cdot x + 2

und erhält

z' (x) = 2

. Dann gilt

F' (x) = F' (z) \cdot z' (x)

nach der Kettenregel. Das soll

{(2 \cdot x + 2)}^{3}

sein. Damit wird

F (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot {(2 \cdot x + 2)}^{4}

. Wenn man das ableitet, verschwindet der Nenner 4 wieder und die

\frac{1}{2}

heben sich mit der inneren Ableitung auf.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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