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Binomische Reihe für x und Potenz kleiner 1

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert

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10:43 Uhr, 16.10.2022

Auf der Internertseite math-grain.de ist das folgende Beispiel $: lim n \to$ unendlich $n$ mal (Wurzel von $(1 +$ 1/n²) $- 1)$
Das kann mit der "Binomischen Formel für $x$ kleiner gleich 1 " berechnet werden .Diese lautet $: {(1 + x)}^{m} =$ Summenzeichen( $k$ über $m)$ mal $x^{k} = 1 +$ mx $+ m$ mal $\frac{m - 1}{2}!$
Also in diesem Bsp.: ${(1 + \frac{1}{n^{2}})}^{\frac{1}{2}} ~ 1 + \frac{1}{2}$ mal $n^{2}) + \frac{1}{8 n^{4}} + . .$ .
Nun lautet meine Frage $: (\frac{1}{2}$ über $0) = (\frac{1}{2}) \frac{!}{\frac{1}{2}}!$
$(\frac{1}{2}$ über $1) = (\frac{1}{2}) \frac{!}{- \frac{1}{2}}!$
Also : ich sehe da zum ersten mali in meinem Studium eine Fakultät von einer Bruchzahl . (Bei den negativen Fakultäten habe ich folgendes in meinem Studium gelernt : sowohl dass diese gar nicht definiert ist als auch , dass wenn man diese gleich 0 setzt , auch das richtige Ergebnis erhält ) . und hier kommt offenbar raus dass $(\frac{1}{2}$ über $0) = 1$ und $(\frac{1}{2}$ über $1) = \frac{1}{2}$ und $(\frac{1}{2}$ über $2) = \frac{1}{8}$ ist .

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Mathe45

10:58 Uhr, 16.10.2022

www.onlinemathe.de/forum/Grenzwert-von-n-te-Wurzel-von-n

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11:26 Uhr, 16.10.2022

Hallo,

sei Alpha ein Bruch, dann ist

$(\binom{α}{k})$
$= α \cdot (α - 1) \cdot \dots \cdot (α - k + 1) \cdot \frac{1}{k!}$

So ist

$(\binom{\frac{1}{2}}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2!} = - \frac{1}{8}$

und

$(\binom{\frac{1}{3}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3}) \cdot (- \frac{5}{3}) \cdot \frac{1}{3!} = \frac{5}{81}$

Gruß
pivot

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14:33 Uhr, 16.10.2022

vielen dank ! kannst du mir auch erklären wieso das so ist ?

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16:49 Uhr, 16.10.2022

Letztendlich ist es die Definition des Binomialkoeffizienten, der für ganzzahlige $n$ und $k$ gilt:

$(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = \frac{n \times (n - 1) \times \dots \times (n - k + 1)}{k!}$

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10:59 Uhr, 17.10.2022

ALLES KLAR ! Das ist es . Vielen herzlichen Dank $!!!$

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12:11 Uhr, 17.10.2022

Freut mich, dass alles klar ist.

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