Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Bogenlänge berechnen von y(x)=ln(x^2-1)

Bogenlänge berechnen von y(x)=ln(x^2-1)

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Bogenlänge, Integration, Logarithmus, Stammfunktion

Simown aktiv_icon

18:24 Uhr, 07.03.2010

Hallo,

seit 2 Stunden sitze ich an folgender Aufgabe und komm einfahc nicht auf eine Lˆsung:

Berechnen Sie die L‰nge der Kurve $y (x) = ln (x^{2} - 1)$

Die Grenzen des Integrals sind erstmal egal, ich komme jedoch nicht auf die Stammfunktion.

Die Funktion der Bˆgenl‰nge ist $B =$ $\int \sqrt{1 + (\frac{d}{d x} y)^{2}} d x$

Wie komm ich nun durch Substitution, Partielle Integration und Partialbruchzerlegung an das Ergebnis, also die Stammfunktion?

Brauche dringend Hilfe, danke shconmal

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kreisteile: Berechnungen am Kreis
Logarithmusgesetze - Einführung
Stammfunktion
ln-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

lustiges-lieschen aktiv_icon

18:36 Uhr, 07.03.2010

ich hab zwar keinen rechenweg für dich, aber eine antwort:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=int%28sqrt%281%2B%282x%2F%28x^2-1%29%29^2%29&a=*C.int-_*IntegralsWord-

wie man dahin kommt hab ich auch noch nicht rausgefunden...

arrow30

18:56 Uhr, 07.03.2010

y = ln (x^{2} - 1) \Rightarrow y' = \frac{2 x}{x^{2} - 1}

\int \sqrt{(1 + {(\frac{2 x}{x^{2} - 1})}^{2})} d x = \int \sqrt{(\frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}} + \frac{4 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})} d x =

\int \sqrt{(\frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}} + \frac{4 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})} d x = \int \sqrt{(\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} + 4 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})} = \int \sqrt{(\frac{x^{4} + 1 - 2 x^{2} + 4 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})} d x

= \int \sqrt{(\frac{x^{4} + 1 - 2 x^{2} + 4 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})} d x = \int \sqrt{(\frac{x^{4} + 1 + 2 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})} d x = \int \sqrt{(\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})} d x = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1} d x =

= \int 1 + \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} d x = x + ln (x - 1) - ln (x + 1) = x + ln (\frac{x - 1}{x + 1})

ps:

y' = \frac{d y}{d x}

Simown aktiv_icon

19:10 Uhr, 07.03.2010

sorry aber der formeleditor hier hat irgendwas falsch gemacht.

Also die Formel für die Bogenlänge lautet:

INTEGRAL(WURZEL(1+(dy/dx)^2))dx

arrow30

19:13 Uhr, 07.03.2010

\frac{d y}{d x}

ist ja die Ableitung

. .

. siehe oben

Simown aktiv_icon

19:16 Uhr, 07.03.2010

aber in deiner lösung fehlt doch die wurzel!!!oder?

arrow30

19:17 Uhr, 07.03.2010

Anzeigeproblem ? siehe Bild
und Wolfding bestätigt meine Lösung (wenn man alles richtig eintippt)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+sqrt%281%2B%28%282x%2F%28x^2-1%29%29^2%29

Simown aktiv_icon

21:25 Uhr, 07.03.2010

oh, ja der safari zeigt das wohl falsch an :-)

aber jetzt ist es klar, simpler trick. Vielen Dank

733802

733659

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?