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Den Grenzwert einer Summe bestimmen?

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Grenzwerte

Tags: Analysis, Folgen, Grenzwert, reih, Summe

MatheNichtSoProfi aktiv_icon

23:02 Uhr, 27.06.2017

Liebe Menschen der Mathematik,

ich habe einmal die Summen

lim_{n \to \infty}

\sum_{j = 0}^{n} {(\frac{2}{3})}^{j}

und

\sum_{j = 0}^{n} \frac{3^{j + 1}}{5 \cdot 2^{j}}

gegeben und soll überprüfen, ob es einen Grenzwert gibt und diesen berechnen.

Theoretisch könnte ich ja einfach Werte einsetzen und einen Grenzwert annehmen, man soll ja aber einen Nachweis bzw. eine Überprüfung machen...

In folgendem Beispiel wurde das so gemacht:

Beispiel:

lim_{n \to \infty}

\sum_{k = 2}^{n} {(\frac{2}{3})}^{k} = \sum_{k = 0}^{n} {(\frac{2}{3})}^{k} - \sum_{k = 0}^{1} {(\frac{2}{3})}^{k} =

\sum_{k = 0}^{n} {(\frac{2}{3})}^{k} - (1 + \frac{2}{3}) = \sum_{k = 0}^{n} {(\frac{2}{3})}^{k} - \frac{5}{3} =

\sum_{k = 0}^{n} {(\frac{2}{3})}^{k} - \frac{5}{3} = \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{n + 1}}{1 - \frac{2}{3}} - \frac{5}{3}

konvergiert gegen

\frac{1 - 0}{1 - \frac{2}{3}} - \frac{5}{3}

| \frac{2}{3} | < 1

Also

lim_{n \to \infty}

\sum_{k = 2}^{n} {(\frac{2}{3})}^{k} = \frac{1}{1 - \frac{2}{3}} - \frac{5}{3} = \frac{1}{\frac{1}{3}} - \frac{5}{3} = 3 - \frac{5}{3} = \frac{4}{3}

Warum ist hier auf einmal

k = 0

und

n = 1

und von wo kommen die

\frac{5}{3}

?

Wie kann ich die Grenzwerte von meinen beiden Summen vom Anfang bestimmen?

Vielen Dank schon mal, Leute!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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rundblick aktiv_icon

23:26 Uhr, 27.06.2017

.
Vorschlag

schreibe doch mal aus ..die ersten paar Summanden und den letzten :

\to S_{n} = \sum_{j = 0}^{n} {(\frac{2}{3})}^{j} = ... .

.

dann solltest du erkennen was für eine Folge die Summanden durchlaufen
und welche Art sehr bekannter Summe (dh. welcher Typ Reihe) liegt vor ..

usw..usw.. dann sollte auch sofort klar sein

\to lim_{n \to \infty} S_{n} = . .

.

und zum zweiten Beispiel:

überlege analog

\to S_{n} = \frac{3}{5} \cdot \sum_{j = 0}^{n} {(\frac{3}{2})}^{j} = \frac{3}{5} \cdot [... .

. .

]

usw.. usw..

hm.. und in welche Klasse gehst du schon ?

.

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