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Den Schnittpunkt einer Senkrechten auf einer Linie

Universität / Fachhochschule

Tags: Linie, Schnittpunkt, senkrecht, Strecke

frankmehlhop aktiv_icon

09:03 Uhr, 16.06.2015

Hallo,

ich Habe eine Strecke |AB| mit den Koordinaten

x

und

y

.
Dann habe ich einen Punkt

P

mit den Korrdinaten

x

und

y

.
Ich weiß, das

P

direkt neben der Strecke liegt, evtl. auch neben A oder B.
Von

P

soll eine Senkrechte auf |AB| gelegt werden.

Die Koordinaten des Schnittpunktes

D

möchte ich errechnen.
Wie kann ich diesen berechnen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Schnittpunkte bestimmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michaL aktiv_icon

10:29 Uhr, 16.06.2015

Hallo,

vektoriell: Stelle die Parameterform der Geraden durch

A

und

B

sowie die Hyperebene senkrecht zu dieser Geraden durch

P

auf und berechne den Schnittpunkt.

Koordinatenweise (nur 2D): Stelle beiden Geradengleichungen auf (bedenke, dass Geraden mit den Steigungen

m_{1}

und

m_{2}

genau dann senkrecht sind, wenn

m_{1} m_{2} = - 1

gilt, Sonderfälle getrennt beachten).

Mfg Michael

frankmehlhop aktiv_icon

11:15 Uhr, 16.06.2015

Hallo MichaL,

Ich blicke das nicht ganz,
möchte an Hand eines Beispieles erst mal Fragen, ob ich den ersten Schritt richtig löse.

A (6,8)

B (2,1)

v = (\frac{2}{1}) - (\frac{6}{8}) = (- \frac{4}{- 7})

richtig?

dann noch der x-Versatz:

x =

- (

\cdot

vy / vx)

x = 2 - (1 \cdot \frac{7}{4}) = 1,429

Lautet die Parameterform der Geraden durch A und

B

= (- \frac{4}{- 7}) + 1,429

???

Wenn ich das hinbekommen haben sollte bin ich froh,
aber deine weiteren Ausführungen verstehe ich leider nicht,
will heißen davon habe ich keine Ahnung, weiß zB. nicht was Hyperebene bedeutet.

Frank

Matheboss aktiv_icon

11:57 Uhr, 16.06.2015

Wie michaL Dir schrieb,

"wenn 2-dimensional...", dann nur den 2. Absatz.
Die Hyperebene brauchst Du dann nicht.

Wenn Dein

\vec{A B} = (\begin{matrix} - 4 \\ - 7 \end{matrix})

dann ist die Steigung

m = \frac{- 7}{- 4} = \frac{7}{4}

Dass Deine Geradengleichung falsch ist, kannst Du durch eine einfache Zeichnung selbst überprüfen oder durch einsetzen von A oder

B

in Deine Gleichung.

Die Gerade hat dann die Gleichung

y = \frac{7}{4} \cdot x - \frac{5}{2}

jetzt weiter mit michaL mit

g ⊥ h \Leftrightarrow m_{g \cdot} m_{h} = - 1

frankmehlhop aktiv_icon

14:39 Uhr, 16.06.2015

Danke Matheboss.

Also errechne ich m wie folgt?

m = ( ( By - Ay ) / ( Bx - Ax ) )

Und den Versatz so?

versatz = By - m * Bx

Ist das richtig?

Dann sieht die Parameterform so aus?

y = ( ( By - Ay ) / ( Bx - Ax ) ) * x + ( By - m * Bx )

jetzt weiter mit MichaL mit
g&perp;h⇔mg⋅mh=−1
(wird falsch dargestellt, so was wie g senkrecht h <=> mg * mh = -1)

Was bedeutet das?

Matheboss aktiv_icon

13:38 Uhr, 17.06.2015

Um bei Deinem Beispiel zu bleiben

m_{g =} \frac{7}{4}

m_{h} = - \frac{1}{m_{g}}

m_{h} = - \frac{4}{7}

h (x) = m_{h} \cdot x + t

einsetzen von

m_{h}

und

P (x_{p} | y_{p} = h (x_{p})))

(P

ist der Punkt durch den die senkrechte Gerade

h

gelegt werden soll)
und Du erhältst

t

.

Edit
Das ist keine Parameterform, sondern die Normalform der Geraden im

ℝ^{2}

.
Die Parameterform wäre

\vec{x} = (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} b_{x} - a_{x} \\ b_{y} - a_{y} \end{matrix})

frankmehlhop aktiv_icon

13:50 Uhr, 17.06.2015

Hallo,

vielen Dank für die Infos.
Ich möchte an dieser Stelle mal erwähnen, dass ich zig Jahren von meiner Schul- und Studienzeit entfernt bin und mir sich die Termini nicht erschließt. Zu meiner Zeit stand z.Bsp. t stets für Zeit.

Das mit der Steigung mg und mh ist mir klar.
Was ist t? (der Schnittpunkt?, D(y)?)
Was fange ich an mit dem Ausdruck: einsetzen von mh und P(xp∣∣yp=h(xp)))?

Matheboss aktiv_icon

13:55 Uhr, 17.06.2015

t

steht hier für den y-Achsenabschnitt der Geraden.
Oft stehen hier auch andere Buchstaben, hier in Franken eben

t

h (0) = t

Einsetzen von

m_{h} = - \frac{4}{7}

und

P (14 | 8) (

habe ich jetzt erfunden)

y = m_{h} \cdot x + t

8 = - \frac{4}{7} \cdot 14 + t

\Rightarrow t = 16

jetzt wieder zurück

h (x) = y = - \frac{4}{7} \cdot x + 16

wäre dann die senkrechte Gerade zu

g

.

Edit

Wie Du dann den Schnittpunkt findest ist klar, die Geradengleichungen gleichsetzen.

g (x) = h (x)

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