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Differentiation eines Integrals

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Differentiation

Tags: Differentiation, Integral

Rene711 aktiv_icon

04:12 Uhr, 21.02.2010

f (x) =

integral von

cos (x)

bis

0 (e^{- t}^2 d t)

So davon soll nun die Ableitung gebildet werden.
Ich finde im Internet zwar durchaus Informationen dazu aber ich verstehe da einfach nur Bahnhof.

Kann das vielleicht mal jemand für total Bescheuerte erklären?
Also Schritt für Schritt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pleindespoir aktiv_icon

04:18 Uhr, 21.02.2010

f (x) = \int_{0}^{e^{- t^{2}}} c o s (x) d t

und das (habe ich das richtig verstanden?) soll nach x abgeleitet werden?

Rene711 aktiv_icon

04:23 Uhr, 21.02.2010

Nein. Ist wohl etwas missverständlich gewesen.

f (x) = \int_{cos (x)}^{0} e^{- t^{2}} d t

Und gesucht ist die Ableitung der Funktion

f (x)

ja.

pleindespoir aktiv_icon

04:33 Uhr, 21.02.2010

Na, dann löse doch erstmal das Integral unbestimmt - setze dann die Grenzen ein (die eine ist abhängig von x) und leite das anschliessend nach x ab.

Rene711 aktiv_icon

04:39 Uhr, 21.02.2010

Hmm wenn das so einfach geht wäre ja nice.
Aber worauf ich eigentlich hinauswollte sind solche Sachen:
http//en.wikipedia.org/wiki/Differentiation_under_the_integral_sign

Den integrieren und dann ableiten weg werde ich morgen mal ausprobieren. Bissl zu spät sowas noch zu rechnen.

pleindespoir aktiv_icon

05:00 Uhr, 21.02.2010

Es ist wirklich nicht so einfach, ein Loch in den Schnee zu pinkeln - ein kleiner Wackler und schon ist es kein Loch mehr sondern eine andere geometrische Form!

ahmedhos aktiv_icon

09:09 Uhr, 21.02.2010

Ich versuchs mal zu erklären.

Es nennt sich die Leibnizregel für Parameterintegrale und hat nix mit deinem Beispiel zu tun, aber mit deinem Link aus Beitrag 1.
http//de.wikipedia.org/wiki/Parameterintegral#Leibnizregel_f.C3.BCr_Parameterintegrale

Diese ist in der Strömungsmechanik

z . B

. sehr nützlich. Mit Hilfe dieser Regel leitet man die Kontinuitätsgleichung streng physikalisch-mathematisch.
Also folgendes Problem:

Ein Fluid bewegt sich in einem allgemeinen Rohr von 1 nach 2. Dabei sind:

t :

Zeit

s (t) :

Laufkoordinate im Rohr in Abhängigkeit der Zeit "wie x-Achse"

c (s, t) :

Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Koordinate

s

und der Zeit

t

A (s, t) :

Querschnittsfläche in Abhängigkeit von der Koordinate

s

und der Zeit

t

Am Punkt 1 haben wir:

s_{1} = s_{1} (t)

c_{1} = c (s_{1}, t) = c (s_{1} (t), t)

A_{1} = A (s_{1}, t) = A (s_{1} (t), t)

Am Punkt 2 haben wir:

s_{2} = s_{2} (t)

c_{2} = c (s_{2}, t) = c (s_{2} (t), t)

A_{2} = A (s_{2}, t) = A (s_{2} (t), t)

Ein differentielles Volumen dV in Abhängigkeit der Laufkoordinate

s

und der Zeit

t

zwischen der beiden Strecken wäre gleich Querschnittsfläche A multipliziert mal eine differenzielle kleine Strecke

d s

d V (s, t) = A (s, t) \cdot d s

zwischen Punkt 1 mit der Laufkoordinate

s_{1}

und Punkt 2 mit der Laufkoordinate

s_{2}

fließt ein endliches Volumen

V_{e}

V_{e} = \int_{s_{1} (t)}^{s_{2} (t)} d V (s, t) = \int_{s_{1} (t)}^{s_{2} (t)} A (s, t) \cdot d s

http//de.wikipedia.org/wiki/Volumenstrom
"Unter einem Volumenstrom versteht man das Volumen eines Mediums, das sich innerhalb einer Zeiteinheit durch einen Querschnitt bewegt."
Der Durchfluß in diesem Bereich bzw. der Volumenstrom ist also die zeitliche Ableitung des Volumens:

Q = \frac{d V_{e}}{d t} (= \frac{d}{d t} (\frac{m_{e}}{ρ}),

ρ = \frac{m}{V})

\Rightarrow Q = \frac{d V_{e}}{d t} = \frac{d}{d t} \int_{s_{1} (t)}^{s_{2} (t)} A (s, t) \cdot d s

Hier kommt die Regel für Parameterintegrale ins Spiel:

\frac{d}{d t} \int_{s_{1} (t)}^{s_{2} (t)} A (s, t) \cdot d s = \int_{s_{1} (t)}^{s_{2} (t)} \frac{\partial}{\partial t} A (s, t) \cdot d s + \int_{s_{1} (t)}^{s_{2} (t)} d (A (s, t) \cdot \frac{d s}{d t})

\frac{d}{d t} \int_{s_{1} (t)}^{s_{2} (t)} A (s, t) \cdot d s = \int_{s_{1} (t)}^{s_{2} (t)} \frac{\partial}{\partial t} A (s, t) \cdot d s + A (s, t) \cdot \frac{d s}{d t} |_{s_{1} (t)}^{s_{2} (t)}

\frac{d}{d t} \int_{s_{1} (t)}^{s_{2} (t)} A (s, t) \cdot d s = \int_{s_{1} (t)}^{s_{2} (t)} \frac{\partial}{\partial t} A (s, t) \cdot d s + A (s_{2} (t), t) \cdot \frac{d s_{2} (t)}{d t} - A (s_{1} (t), t) \cdot \frac{d s_{1} (t)}{d t}

\frac{d}{d t} \int_{s_{1} (t)}^{s_{2} (t)} A (s, t) \cdot d s = \int_{s_{1} (t)}^{s_{2} (t)} \frac{\partial}{\partial t} A (s, t) \cdot d s + A_{2} \cdot c_{2} - A_{1} \cdot c_{1}

Bei stationäre also zeitunabhängige Strömung gilt:

0 = 0 + A_{2} \cdot c_{2} - A_{1} \cdot c_{1} \Leftrightarrow A_{1} \cdot c_{1} = A_{2} \cdot c_{2}

Bekannt als Kontinuitätsgleichung bzw. Kontigleichung für Rohrströmung.
http//www.systemdesign.ch/index.php?title=Kontinuit%C3%A4tsgleichung#Rohrstr.C3.B6mung

OmegaPirat

13:18 Uhr, 21.02.2010

Rene
das problem bei deinem integral ist ja, dass es keine elementare stammfunktion gibt, trotzdem wird man es aber differenzieren können.
um es mal plausibel zu machen

f (x) = \int_{cos (x)}^{0} g (t) d t

nun sei

G (t)

die stammfunktion von

g (t)

. dann gilt

f (x) = G (0) - G (cos (x))

jetzt differenzierst du dies nach

x

G (0)

ist eine konstante, also folgt

f' (x) = - \frac{d (G (cos (x)))}{d x} = sin (x) \cdot \frac{d (G (cos (x)))}{d (cos (x))} = sin (x) \cdot g (cos (x))

in deinem fall gilt

g (t) = e^{- t^{2}}

\Rightarrow f' (x) = sin (x) \cdot e^{- {cos}^{2} (x)}

Rene711 aktiv_icon

15:02 Uhr, 21.02.2010

Ok. Dann lag ich ja komplett daneben.
Dankeschön an alle.

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