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Exaktheitsbedingung Quadraturformel

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Integral, Numerik, Quadratur

Lamy99 aktiv_icon

11:34 Uhr, 14.02.2021

Hallo,
ich übe gerade für Numerik und komme bei folgender Altklausur-Aufgabe nicht weiter:

Quadraturformel:

J_{1} (f) := w_{0} f (- 1) + w_{1} f (x_{1}) \approx \int_{- 1}^{1} f (t) d t

(a)Bestimme den Knoten

x_{1}

und die Gewichte

w_{0}, w_{1}

aus den Exaktheitsbedingungen für quadratische Polynome
(b) bestimmen Sie den maximalen Exaktheitsgrad von

J_{1}

Idee
(a): offensichtlich gilt

x_{0} = - 1

, Problem, dass die Altklausuren etwas alt sind und ich nichts über die Exaktheitsbedingungen für quadratische Polynome gefunden habe. Ich habe erst folgendes Gleichungssystem aufgestellt:

\int_{- 1}^{1} 1 d x = 2 = w_{0} + w_{1}

\int_{- 1}^{1} x d x = 0 = w_{0} x_{0} + w_{1} x_{1} = - w_{0} + w_{1} x_{1}

und

\int_{- 1}^{1} x^{2} d x = \frac{2}{3} = w_{0} x_{0}^{2} + w_{1} x_{1}^{2} = w_{0} + w_{1} x_{1}^{2}

, das sind drei Gleichungen und drei Unbekannte, also lösbar, es ist aber nicht-linear und irgendwie kann ich nicht auf die Werte kommen, ich darf ja die Symmetrie der Knoten und Gewichte nicht annehmen...

(b): Sobald ich

J_{1} (f)

in (a) bestimmt habe, wäre meine Idee, Polynome verschiedenen Grades der Form

\sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}

für

f

einzusetzen und zu schauen, ob Gleichheit rauskommt. Oder wie macht man das? Danke für jede Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

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pwmeyer aktiv_icon

11:59 Uhr, 14.02.2021

Hallo,

Du musst halt aus den 3 Gleichungen nach der alten "Einsetzungsmethode" lösen. Ich habe mit

x = \frac{w_{0}}{w_{1}}

angefangen und heruasbekommen:

w_{0} = \frac{1}{2}, w_{1} = \frac{3}{2}, x = \frac{1}{3}

. Musst Du mal checken.

Und dann hast Du recht, musst Du überprüfen, ob die Formel auch noch Polynome vom Grad 3 oder 4 oder mehr exakt ist.

Gruß pwm

Lamy99 aktiv_icon

12:27 Uhr, 14.02.2021

Ah okay, vielen Dank!! Danke, deine Werte für die Knoten und Gewichte scheinen zu passen. Ich habe zur Sicherheit auch Grad 0 und 1 noch probiert (muss ja stimmen wegen der Exaktheitsbedingungen) und für Polynome bis zum Grad 2 ist es exakt, bei Polynomen 3. Grades kam bei mir Ungleichheit raus.

Lamy99 aktiv_icon

16:17 Uhr, 15.02.2021

Nochmal nachgefragt: wie du auf

x = \frac{w_{0}}{w_{1}}

gekommen bist, habe ich verstanden, aber hast du für die genauen Werte

w_{0}, w_{1}

ausprobiert bis es gestimmt hat?

pwmeyer aktiv_icon

17:50 Uhr, 15.02.2021

Hallo,

natürlkich habe ich nicht probiert, sondern dieses Ergebnis in die letzte Gleichung eingesetzt und dann noch

w_{1} = 2 - w_{0}

ersetzt.

Gruß pwm

pwmeyer aktiv_icon

17:51 Uhr, 15.02.2021

Hallo,

natürlkich habe ich nicht probiert, sondern dieses Ergebnis in die letzte Gleichung eingesetzt und dann noch

w_{1} = 2 - w_{0}

ersetzt.

Gruß pwm

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