Exaktheitsgrad teils gegebener Quadraturformel

Hi,

ich versuch jetzt schon seit ein paar Stunden einen vernünftigen Ansatz für die folgende Aufgabe zu finden und komm nicht weiter. Deshalb hoffe ich das mir hier jemand helfen kann. Gleich vorne weg ich studiere Numerik nur als Nebenfach also bitte möglichst verständlich antworten, meine Mathekentnisse sind nich so überragend.

gesucht sind die Parameter w0, w1 und t1 ,die den höchsten möglichen Exaktheitsgrad für ${\displaystyle {\int }_0^1\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ≈ w0 * f(0) + w1 * f(t1) ergeben.

So der theoretisch höchst mögliche wäre ja über die Gauß QF erreichbar bei 2m+1 also bei 3. Da dafür aber freie Wählbarkeit der ts vorausgesetzt ist und t0=0 fest ist und außerdem am Rand des Intervalls liegt hab ich das mal ausgeschlossen.

damit wären wir beim 1. Punkt wie kann ich das mathematisch begründen (ich hoff jetzt
mal das es stimmt)

Bleiben noch die Grade 2 und 1 für 1 kann ich einfach w0=w1=0.5 und t1=1 wählen und die TrapezQF verwenden.

Aber gibt es wirklich keine Möglichkeit den Exaktheitsgrad 2 zu erreichen? Mir ist kein Weg
eingefallen aber das heißt nicht so viel (:

Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen

Gruß Michael

So erst mal Danke an alle die sich die Frage angeschaut haben.

Ich hab die Lösung mittlerweile selbst gefunden und werde den Lösungsweg für Leute die das gleiche Problem haben schnell skizieren.

Richtig ist Exaktheitsgrad 2 mit Stützstellen und Gewichten w1=0.25 w2=0.75 x2=2/3

Wie kommt man jetzt darauf: Wie oben geschrieben scheidet E-Grad 3 wegen der nicht freien Stützstellenwahl vermutlich aus.

Deshalb zuerst berechnung von E-Grad 2 und dann Test auf 3. Indem man für die funktion f

1, x, x^2 und x^3 annimmt kann man Gleichungen für die verschiedenen E-Grade aufstellen

(das z.B. x^2 auch für fkts wie 0.1 x^2+0.3x als Test reicht hängt damit zusammen das man das ganze erst mal aufspalten könnte in Integral über 0.1 x^2 und Integral über 0.3x und danach die Vorfaktoren rauszieht also  0.1 Integral x^2 + 0.3 Integral x  man sieht also x^2 reicht als Test)

Es ergeben sich die Gleichungen:

$$\begin{gathered} {\displaystyle {\int }_0^{1}1\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1=\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}1+\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}2 \\ {\int }_0^1\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0.5=\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}1*0+\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}2*\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}2 \\ {\int }_0^1{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0.333=\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}1*0+\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}2*\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{2}^2 \\ {\int }_0^1{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0.25=\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}1*0+\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}2*\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{2}^3} \end{gathered}$$

löst man die ersten 3 auf erhält man w1=0.25 w2=0.75 x2=2/3

einsetzen in die 4. ergibt einen Fehler so dass man gezeigt hat das der E-Grad 2 für die genannten Stüzen und Gewichte erreicht werden kann aber kein höherer.

Gruß Michael

ps für Richtigkeit übernehm ich türlich keine Garantie aber es erscheint mir logisch