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Exponent wie aufleiten?

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Aufleiten, integrieren, Stammfunktion

MarieMathee aktiv_icon

11:08 Uhr, 14.05.2014

Hallo!

Ich habe mal eine Frage: Wie leite ich diese Funktion auf bzw. bilde die Stammfunktion dieser?

: e^{- 1,11 t}

Normalerweise erhöht man ja den Exponenten und zieht ihn vor das

e,

aber wie mach ich das mit einer Komma Zahl?

Liebe Grüße, Marie :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Stammfunktion
ln-Funktion

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11:12 Uhr, 14.05.2014

Das Integral von

e^{x}

ist

e^{x}

selbst, weil

e^{x}

abgeleitet

e^{x}

ergibt.
Das Integral von

e^{a x}

ist

\frac{1}{a} \cdot e^{a x}

. Warum wohl ?

MarieMathee aktiv_icon

11:15 Uhr, 14.05.2014

Ja, das weiß ich. Aber sieht das dann so aus oder wie?

\frac{1}{- 1,11} e^{- 1,11 t}

Edddi aktiv_icon

11:19 Uhr, 14.05.2014

jawoll...

;-)

prodomo aktiv_icon

11:19 Uhr, 14.05.2014

Da bist du aber in mehrfacher Hinsicht auf dem Holzweg. Die Regel "Exponenten um 1 erhöhen und seinen Kehrwert - nicht den Exponenten selbst - vor den Term ziehen" gilt nur für Potenzfunktionen. Aber dein Beispiel ist keine Potenzfunktion, denn die Variable

t

steht im Exponenten, weswegen es sich um eine Exponentialfunktion handelt.
Hoffentlich weißt du, dass die Exponentialfunktion zur Basis

e,

also

f (t) = e^{t},

als Ableitung wieder

e^{t}

heißt. Ist der Exponent nicht

t,

sondern ein Vielfaches (ob es dabei das Doppelte oder das - 1,11fache ist, spielt keine Rolle), wird beim Ableiten die Kettenregel benutzt, also

\frac{d}{d t} e^{k \cdot t} = k \cdot e^{k \cdot t}

. Beim Aufleiten muss man diese Multiplikation analog zu der Verwendung des Kehrwertes des neuen Exponenten bei Potenzfunktionen dadurch "neutralisieren", dass man ihren Kehrwert vor den Term schreibt, also

\int e^{k \cdot t} \cdot d t = \frac{1}{k} \cdot e^{k \cdot t} + C

MarieMathee aktiv_icon

11:22 Uhr, 14.05.2014

Oh wirklich so einfach? ich dachte man macht mit eine rKommazahl vielleicht etwas besonderes...:-D)

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11:42 Uhr, 14.05.2014

Zahl bleibt Zahl, egal ob aus

N, Z, Q

oder

R

stammend.
Auch Zahlen wollen gleich behandelt werden. :-))

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