Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Exponentialfunktion streng monoton steigend

Exponentialfunktion streng monoton steigend

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Exponentialfunktion, Stetigkeit

wanderer4 aktiv_icon

13:32 Uhr, 26.10.2018

Hallo Leute ich bin mir bei der Lösung einer Aufgabe unsicher:

Zeige, dass die reelle Exponentialfunktion

e x p : R \to] 0, \infty [

x \to e^{x}

streng monoton steigend ist.
Meine Idee: generell muss gelten für

x, y \in D e f b e r e i c h

mit

x < y

das

f (x + y) - f (y) > 0

damit f streng monoton steigend ist. Also

e^{x + y} - e^{y} = e^{x} (e^{y} - 1)

. Da

e^{x}

stets positiv ist und auch

e^{y} - 1 > 0

für alle

x, y \in R

positiv ist, ist die Bedingung für eine streng monoton steigende Funktion erfüllt -> Exp ist streng monoton steigend.

Reicht das als Beweis weil mir das für die gegebene Punktzahl sehr wenig erscheint? oder muss ich noch Stetigkeit oder sowas nachweisen?

Vielen Dank schonmal für die Antworten

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pwmeyer aktiv_icon

17:23 Uhr, 26.10.2018

Hallo,

Du hast 2 Varianten der Monotonie- Definition miteinander vermischt. Außerdem gilt

e^{y} - 1 > 0

nicht für alle

y \in ℝ

.

Aber Dein Ansatz ist auf der richtigen Linie.

Gruß pwm

wanderer4 aktiv_icon

15:09 Uhr, 27.10.2018

stimmt das gilt nur für h größer 0. Wie kann ich die Idee denn sinnvoll weiter führen?

Andere idee wäre zu nutzen das gilt (*)

e x p (x) \geq 1 + x

sei nun

x, y \in R

x < y

und

y = x + t

mit

t \in R

dann folgt

e^{t} \geq 1 + t > 1

und somit

e x p (y) = e x p (x + t) = \underset{> 0}{\underset{⎵}{e x p (x)}} \underset{> 1}{\underset{⎵}{e x p (t)}} > e x p (x)

.

(den Beweis für (*) hab ich, war mir jedoch grade zu viel schreibarbeit)

passt das, bzw. ist das nicht noch eindeutiger?
Vielen Dank schonmal für die Antwort!

DerDepp aktiv_icon

22:11 Uhr, 27.10.2018

Hossa :-)

Ich würde auch

e^{x} \geq 1 + x

verwenden. Zusammen mit

e^{x} > 0

für

x \in ℝ

gilt nämlich für

y > 0

e^{x + y} - e^{x} = e^{x} (e^{y} - 1) \geq e^{x} (1 + y - 1) = y e^{x} > 0

wanderer4 aktiv_icon

16:14 Uhr, 30.10.2018

ahhhh ja danke hab meinen fehler gefunden

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1444430

1443671

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?