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Exponentialfunktionen

Schüler Gymnasiale Oberstufe, 12. Klassenstufe

Tags: Exponentialfunktion, Halbwertszeit, verdopplungszeit

schneeflocke09 aktiv_icon

20:47 Uhr, 27.01.2010

hey

Das Bakterium Salmonellalöst schwere Magen-Darm Erkrankungen aus. Die infektiöse Dosis beträgt ca. 1 Millionen Keime. Das Bakterium kommt bevorzugt in Eisspeisen vor und vermehrt sich bei Temperaturen über 8°C.
Die Tabelle zeigt die Vermehrung in einem infizierten Ei, das bei 25°C gelagert wird.

Uhrzeit

10 : 00

Uhr

12 : 00

Uhr

14 : 00

Uhr

16 : 00

Uhr
Keimzahl:

1000; 5500; 30000; 160000

a)

wie lautet die wachstumsfunktion ?

b)

wie groß ist die verdopplungszeit ?

c)

wann wird die Infektionsdosis erreicht ?

d)

Das Ei wird bis

18 : 00

bei 25°C gelagert und dann in ein Kühlfach mit 12°C gelegt. Hierdurch vervierfacht sich die Verdopplungszeit. Wann wird nun die Infektionsdosis erreicht ?

Bitte um Hilfe vor allem weil ich nicht weiß wie ich den Ansatz

N (t) = c \cdot a^{t}

anwenden soll ???

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Exponentielles Wachstum und Zerfall

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DK2ZA aktiv_icon

21:22 Uhr, 27.01.2010

Ansatz:

N (t) = c \cdot a^{\frac{t}{h}}

h =

Stunden

Man setzt die am weitesten auseinander liegenden Wertepaare ein.

Zur Zeit

0 h

sind es

1000

Bakterien:

1000 = c \cdot a^{\frac{0 h}{h}}

1000 = c \cdot a^{0}

1000 = c \cdot 1

1000 = c

Damit haben wir

N (t) = 1000 \cdot a^{\frac{t}{h}}

Zur Zeit

6 h

sind es

160000

Bakterien:

160000 = 1000 \cdot a^{\frac{6 h}{h}}

160 = a^{6}

160^{\frac{1}{6}} = a

a = \sqrt[6]{160}

a \approx 2,33

Wachstumsfunktion:

N (t) = 1000 \cdot {2,33}^{\frac{t}{h}}

Verdopplungszeit:

2000 = 1000 \cdot {2,33}^{\frac{t}{h}}

2 = {2,33}^{\frac{t}{h}}

ln (2) = \frac{t}{h} \cdot ln (2,33)

t = \frac{ln (2)}{ln (2,33)} h

t \approx 0,819 h

Wann wird die Infektionsdosis

(1000000)

erreicht?

1000000 = 1000 \cdot {2,33}^{\frac{t}{h}}

1000 = {2,33}^{\frac{t}{h}}

ln (1000) = \frac{t}{h} \cdot ln (2,33)

t = \frac{ln (1000)}{ln (2,33)} h

t \approx 8,166 h

d)

Nach 8 Stunden sind es

1000 \cdot {2,33}^{8} = 868655

Bakterien.

Von da an gilt

N (t) = N_{0} \cdot 2^{\frac{t}{4 \cdot 0,819 h}}

Wann wird die Million erreicht?

1000000 = 868655 \cdot 2^{\frac{t}{4 \cdot 0,819 h}}

ln (\frac{1000000}{868655}) = (\frac{t}{4 \cdot 0,819 h}) \cdot ln (2)

t = 0,6655 h \approx

40Min

Die Infektionsdosis wird um 18Uhr

40

Minuten erreicht.

GRUSS, DK2ZA

schneeflocke09 aktiv_icon

21:54 Uhr, 27.01.2010

danke ;-)

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