Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Exponentialfunktionen in Anwendung

Exponentialfunktionen in Anwendung

Schüler Gesamtschule,

Tags: Anwendungsaufgabe, Exponentialfunktion

Kann-kein-Mathe aktiv_icon

14:58 Uhr, 04.10.2011

Ich verzweifle

(((

Die Abkühlung einer Tasse Kaffe wird beschrieben durch die Funktion

T (t) = 70 \cdot e^{- 0,045 t}

t

ist die Zeit in Minuten und

T (t)

die Temperatur in Celsius nach

t

Minuten

a)

Berechnen Sie, wann die Temperatur des Kaffees noch 60°C, 40°C … beträgt.
Wie berechne ich das ?

b)

Berechnen Sie die Geschwindigkeit der Temepraturabnahme nach einer Minute, fünf Minuten..
Wie gehe ich hier vor ?

und zusätzlich muss ich noch die Halbwertszeit berechnen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

funke_61 aktiv_icon

15:15 Uhr, 04.10.2011

T (t) = 70 \cdot e^{- 0,045 t}

a)

löse die Gleichung

60 = 70 \cdot e^{- 0,045 t}

bzw.

40 = 70 \cdot e^{- 0,045 t}

Kann-kein-Mathe aktiv_icon

15:19 Uhr, 04.10.2011

den Schritt habe ich mir auch schon überlegt und aufgeschrieben, leider weiß ich nicht wie man da jetzt vorgehen soll.
Wie ich nach

t

auflösen kann. soll ich die Gleichung erst gleich Null setzen ? wenn ja was mache ich dann !?

funke_61 aktiv_icon

15:34 Uhr, 04.10.2011

also für 60°C rechne ich es Dir mal ausnahmsweise vor:
Da hier die Zeit

t (T =

60°) rauskommt nenne ich hier

t \Rightarrow t_{60}

60 = 70 \cdot e^{- 0,045 t_{60}}

\frac{60}{70} = e^{- 0,034 t_{60}}

\frac{6}{7} = e^{- 0,045 t_{60}}

logarithmieren:

ln (\frac{6}{7}) = ln (e^{- 0,045 t_{60}})

ln

" ist die Umkehrfunktion der e-Funktion, deshalb:

ln (\frac{6}{7}) = - 0,045 t_{60}

nach

t

umstellen:

t_{60} = \frac{1}{- 0,045} \cdot ln (\frac{6}{7})

also in etwa

t_{60} = 3,426

Minuten

jetzt bist Du dran, um

t_{40}

auszurechnen (zur Kontrolle: es sollten ungefähr

12,436

Minuten rauskommen)
;-)

Kann-kein-Mathe aktiv_icon

15:40 Uhr, 04.10.2011

Aaa, jetzt habe ich es :-) durch dieses Ln bekommt man das

e

weg :-)

bei

40

habe ich dann

12,435

raus :-) danke schön

)))

und wie gehe ich bei

b

vor ?
wie leite ich die Funktion ab ?

funke_61 aktiv_icon

15:41 Uhr, 04.10.2011

na wie leitest Du denn

y = 3 \cdot e^{- 2 x}

ab?

Kann-kein-Mathe aktiv_icon

15:44 Uhr, 04.10.2011

hmm

f (x) = 3 \cdot e^{- 2 x}

f´(x)

= - 6 e^{- 3 x}

???

funke_61 aktiv_icon

15:47 Uhr, 04.10.2011

gut, scheint richtig zu sein, Du hast die Kettenregel benutzt :-)

T (t) = 70 \cdot e^{- 0,045 t}

jetzt leite das mal genauso nach

t

ab.
;-)

Kann-kein-Mathe aktiv_icon

15:50 Uhr, 04.10.2011

bei diesen Verkettungsregeln bin ich mir sehr sehr unsicher

((

T´(t)=-3,15e^(-1,045t) habe ich daraus
Ist das richtig ?

funke_61 aktiv_icon

15:54 Uhr, 04.10.2011

Unsicherheit kann nur durch ausreichend Übung verschwinden.
probiers nochmal.
Warum schreibst Du im Exponeneten

- 1,045 t

Kann-kein-Mathe aktiv_icon

15:56 Uhr, 04.10.2011

ich habe erst den Exponenten also

- 0,045

mal

70

genommen somit bin ich auf die

- 3,15 e

gekommen und dann habe ich den Exponenten um eine Einheit negativer gemacht, also um eins. Man macht das irgendwie so wurde mir erklärt!?

funke_61 aktiv_icon

16:05 Uhr, 04.10.2011

Aber die Ableitung der e-Funktion ist wieder die e-Funktion
das hattet ihr sicher schon in der Schule!
also

f (x) = e^{x}

dann ist

f' (x) = e^{x}

Kann-kein-Mathe aktiv_icon

16:08 Uhr, 04.10.2011

also ist die Ableitung einfach nur

- 3,15 e^{- 0,045}

funke_61 aktiv_icon

16:10 Uhr, 04.10.2011

fast, jetzt hast Du das

t

vergessen
;-)

Kann-kein-Mathe aktiv_icon

16:15 Uhr, 04.10.2011

okay :-) also

T (t) = - 3,15 e^{- 0,045 t}

jetzt für die Aufgabe

b

muss ich nur die Werte in die Funktion einsetzen !? oder wie mache ich das dann ?

funke_61 aktiv_icon

16:21 Uhr, 04.10.2011

genau,
Du schriebst bei

b)

nachdem Du die Ableitung korrekt durchgeführt hast am Besten:

T' (t = 1) = - 3,15 \cdot e^{- 0,045 \cdot 1} = . .

T' (t = 5) = . .

.
usw.
kannst Du Dir auch vorstellen, in welcher Einheit der Zahlenwert "herauskommt"?
;-)

Kann-kein-Mathe aktiv_icon

16:23 Uhr, 04.10.2011

wie meinst du das ? bei mir kamen jetzt nur negative zahlen raus...

funke_61 aktiv_icon

16:25 Uhr, 04.10.2011

genau so sollte es auch sein, denn der Kaffee kühlt ja ab.
welche Zahlen hast Du denn raus für

T' (t = 1) =

T' (t = 5) =

Kann-kein-Mathe aktiv_icon

16:33 Uhr, 04.10.2011

bei

1 \to - 3,01

bei

5 \to - 2,51

Sind die richtig ?

funke_61 aktiv_icon

16:38 Uhr, 04.10.2011

ja schon,
aber man sollte das eben in etwa so hinschreiben, wie ich das vorgeschlagen habe.

Zum Verständnis:
Die Zahlen sind negativ, da es sich ja um die Steigungen von Tangenten an eine e-Funktion mit negativen Exponeneten handelt.
Die "Physikalische" Einheit wäre, da

T

in °C und

t

in Minuten
vorgegeben ist

. .

.
?

Kann-kein-Mathe aktiv_icon

16:41 Uhr, 04.10.2011

okay :-) vielen Dank funke_61 :-) du hast mir sehr geholfen :-) weiter kann ich selbst :-)

funke_61 aktiv_icon

16:44 Uhr, 04.10.2011

also ist Dir klar, wie Du auf die Halbwertszeit kommst?
und wie wäre nun die Einheit für die hier definierte Abkühlungsgeschwindigkeit?

matheass11 aktiv_icon

12:21 Uhr, 03.11.2011

muss die Ableitung nicht

- 6 \cdot e^{- 2 x}

lauten ?

funke_61 aktiv_icon

09:36 Uhr, 04.11.2011

@matheass11:
Die Ableitung von

f (x) = 3 \cdot e^{- 2 x}

ist natürlich

f' (x) = - 6 \cdot e^{- 2 x}

das hatte ich oben übersehen.
Im weiteren Verlauf des Threads habe ich diesen Denkfehler von Kann-kein-Mathe aufgelöst
;-)

anonymous

15:08 Uhr, 13.11.2012

@funke_61 ich müsste zu dieser aufgaben noch begründet stelleung nehmen, wieso die Funktion

T (t)

nicht verwendet werden kaqnn um einen Abkühlunsprozess zu beschreiben, wenn der kaffee sich in einem raum mit einer Raumtemperatur von 20°C befindet. wäre echt nett wenn du mir helfn könntest

Atlantik aktiv_icon

15:33 Uhr, 13.11.2012

Halbwertzeit

T (t) = 70 \cdot e^{- 0,045 t}

35 = 70 \cdot e^{- 0,045 t} | : 70

e^{- 0,045 t} = 0,5

- 0,045 t \cdot ln e = ln 0,5 = - 0,693147181

t = - \frac{0,693147181}{- 0,045} = 15,40327068

mfG

Atlantik

anonymous

19:34 Uhr, 13.11.2012

vielen dank für deine hilfe

funke_61 aktiv_icon

08:42 Uhr, 14.11.2012

"wieso die Funktion

T (t)

nicht verwendet werden kann um einen Abkühlunsprozess zu beschreiben, wenn der Kaffee sich in einem Raum mit einer Raumtemperatur von 20°C befindet":

Deine Funktion von oben war

T (t) = 70 \cdot e^{- 0,045 t}

Wenn Du diese Funktion skizzierst, erkennst Du dass der Funktionswert

T (t)

für "lange" Zeiten

t

(also für

t \to \infty)

gegen 0 (also gegen 0° Celsius) geht.
Dies kommt daher, dass jede e-Funktion mit negativem Exponeneten gegen Null geht.
Mathematisch schreibt man das so:

lim_{t \to \infty} (70 \cdot e^{- 0,045 t}) = 0

Stell Dir nun vor, der Raum in dem die Tasse steht, hat eine Temperatur von 20° Celsius. Da sich

T (t)

für lange Zeiten asymptotisch 0° Celsius nähert, würde der Kaffee in der Tasse kälter werden als die Raumtemperatur.
Richtiger wäre also, dass sich die Temperatur des Kaffee asymptotisch den 20° Celsius Raumtemperatur annähert.

Besser wäre eine Funktion, die sich asymptotisch den 20° Celsius nähert, zB.

T_{20} (t) = 20 + 50 \cdot e^{- 0,045 t}

;-)

anonymous

18:37 Uhr, 14.11.2012

vieleeen dank hast es echt sehr verständlich erklärt nur verstehe ich nicht ganz wie man auf die funktion kommt

funke_61 aktiv_icon

09:50 Uhr, 16.11.2012

Also, die ursprünglich ganz oben gegebene Funktion ist

T (t) = 70 \cdot e^{- 0,045 t}

Zum Zeitpunkt

t = 0

hat der Kaffee also

70 \cdot e^{0} =

70° Celsius.

Mein Vorschlag für eine Funktion die auch bis zur Raumtemperatur 20° Celsius das Abkühlverhalten des Kaffees annähert war:

T_{20} (t) = 20 + 70 \cdot e^{- 0,045 t}

Zum Zeitpunkt

t = 0

hat der Kaffee also

20 + 50 \cdot e^{0} =

70° Celsius. Die Anfangstemperatur ist also gleich.

Für lange Zeiten geht meine Funktion gegen 20° Celsius, da

lim_{t \to \infty} (20 + 50 \cdot e^{- 0,045 t}) = 20 + 50 \cdot e^{- \infty} = 20 + 0 =

20° Celsius.

Schauen wir mal, welche Temperatur der Kaffee so nach

30

Minuten hätte:

T_{20} (30) = 20 + 50 \cdot e^{- 0,045 \cdot 30} = 20 + 50 \cdot e^{- 1,35} = 20 + 50 \cdot 0,259 = 20 + 13 =

33° Celsius
(Vielleicht wäre er in Wirklichkeit schon etwas kälter ;-)

Das vorgestellte "

20 +

" verhindert also, dass die Kaffeetemperatur unter 20°Celsius sinken kann.
Die

50

statt der

70

vor der e-Funktion sorgt für die gleiche Anfangstemperatur bei

t = 0

anonymous

16:03 Uhr, 17.11.2012

hilfeeeeee

Nilepile aktiv_icon

17:57 Uhr, 06.03.2023

Die Formel ist (im Allgemeinen) falsch, denn die Abkühlung hängt natürlich von der Umgebungstemperatur ab. So wie die Formel hier steht, erreicht der Kaffee als Grenzwert die Temperatur 0°C, was im 20°C warmen Wohnzimmer noch nie beobachtet wurde.

1568089

923463

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?