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Extremwertaufgabe, Integralrechnung

Schüler Gymnasium,

Tags: Extremalaufgabe, Extremwertaufgabe, Integral, Intervall

Jana203 aktiv_icon

15:38 Uhr, 24.02.2013

Hallo,

ich hoffe ihr könnt mir bei folgender Aufgabe helfen:
Bestimmen Sie das zwei Stunden umfassende Zeitintervall, in dem die größte Wassermenge zufließt. Ermitteln Sie dazu den rechnerischen Ansatz, mit dem das gesuchte Intervall bestimmt werden kann. Beschreiben Sie (kurz) den Lösungsweg. Eine Durchführung der Rechnungen ist nicht erforderlich.

Es geht um die Funktion

f (t) = t^{3} - 24 \cdot t + 144 \cdot t

t :

Zeit in Stunden;

f (t) :

Zuflussgeschwindigkeit des Wassers in

\frac{m^{3}}{h}

Der abgebildete Graph zeigt den Zeitraum von

t = 0

bis

t = 12

auf der x-Achse und auf der y-Achse

f (t)

Ich habe schon den Hochpunkt, Tiefpunkt, Schnittstellen mit den Achsen, sie Gesamtwassermenge im angegebenen Zeitraum und die Wassermenge in den ersten zwei Stunden berechnet.

Ich hab schon mal was von einem

max

. Intervall gehört, weiß aber nicht, ob das was mit der Aufgabe zu tun hat und was das genau ist. Hoffe ihr könnt mir helfen.

Liebe Grüße Jana

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lineare Ungleichungen - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

prodomo aktiv_icon

16:29 Uhr, 24.02.2013

Ich vermute, du hast bei der Funktionsgleichung einen Tippfehler gemacht, es dürfte sich um

f (t) = t^{3} - 24 \cdot t^{2} + 144 \cdot t

handeln.
Die in einem Intervall zugeflossene Wassermenge ist gleich dem Inhalt der Fläche unter dem Graphen innerhalb dieses Intervalls. Wenn die linke Grenze allgemein

u

heißt, ist die rechte

u + 2

. Für die Wassermenge gilt also

V = \int_{u}^{u + 2} (t^{3} - 24 \cdot t^{2} + 144 \cdot t) \cdot d t = {[\frac{t^{4}}{4} - 8 \cdot t^{3} + 72 \cdot t^{2}]}_{u}^{u + 2} =

\frac{{(u + 2)}^{4}}{4} - 8 \cdot {(u + 2)}^{3} + 72 \cdot {(u + 2)}^{2} - (\frac{u^{4}}{4} - 8 \cdot u^{2} + 72 \cdot u^{2})

. Klammern ausmultiplizieren, zusammenfassen, Hochpunkt zu

V (u)

suchen. Das ist sehr rechenaufwändig und ohne Näherung kaum zu lösen, daher wohl auch die Aufgabe, das Verfahren nur zu beschreiben.
Habe die Aufgabe mit der geänderten Gleichung durch mein CAS geschickt, ergibt

3,04

bis

5,04

als Intervall der maximalen Zunahme, passt zum Bild. Geht aber auch händisch, weil sich das

u^{4}

heraushebt und

V (u) = 2 \cdot u^{3} - 42 \cdot u^{2} + 200 \cdot u + 228

nachbleibt. Also

V' (u) = 6 \cdot u^{2} - 84 \cdot u + 200

und

V'' (u) = 12 \cdot u - 84

. Damit

u^{2} - 14 \cdot u + \frac{100}{3} = 0

und

u_{1,2} = 7 \pm \sqrt{49 - \frac{100}{3}} = 7 \pm 3,96

. Das gibt

3,04

oder

10,96

V'' (10,96)

ist aber positiv, also ist

3,04

die Startzeit für das Maximum.

Jana203 aktiv_icon

17:03 Uhr, 24.02.2013

Ja, habe mich da vertippt.

Danke für deine Antwort, ist sehr gut nachzuvollziehen! :-)

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