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Facharbeit über Exponentialfunktionen
Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe
Tags: aufstellen, e-Funktion, Exponentialfunktion, Gleichungen
 
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hi, ich bin grade dabei meine facharbeit in mathe zu schreiben, leider hab ich mir ein bisschen zu viel zeit gelassen oder war wohl einfach nur zu optimistisch, ich wollte fragen ob mir jemand helfen könnte, indem er einfach mal über meine facharbeit, die noch ausbaufähig ist, drüber schaut! wäre super nett! ich bedanke mich jetzt schon für antworten!
ich hab in meiner eigentlichen facharbeit noch ein paar allgemeine graphen, einen zur e-funktion zum beispiel, aber nichts wichtiges, habe die jetzt hier nicht mit eingebracht! Exponentialfunktionen und die Funktion im Allgemeinen Die Exponentialfunktion, eher bekannt als e-Funktion(f(x)=ex), ist die einzige Funktion, die an jeder Stelle mit ihrer Ableitung übereinstimmt(d.h. es gilt: für für alle Є) oder, anders ausgedrückt, bei der e-Funktion sind der Funktionswert und die Steigung in jedem Punkt identisch. Diese Eigenschaft zeichnet die e-Funktion gegenüber allen anderen Exponentialfunktionen aus und sorgt dafür, dass viele Berechnungen mit der e-Funktion sehr viel einfacher sind als mit anderen Exponentialfunktionen. Die e-Funktion bildet außerdem die Grundlösung für die mathematische Beschreibung diverser natürlicher Vorgänge, wie zum Beispiel radioaktiver Zerfall, Wachstum von Populationen oder chemische Reaktionen. Exponentialfunktionen besitzen weder Null- noch Extremstellen. Ihre Funktionsgraphen schneiden die Achse stets bei es gilt also: . Außerdem ist die Funktion immer strikt positiv, . sie ist niemals 0 oder gar negativ(in Formeln für alle . Dies ist von besonderer Relevanz für die Kurvendiskussion. Konkret lässt sich sagen, dass Funktionen vom Typ mit positiver Basis und a ≠ Exponentialfunktionen heißen. Man unterscheidet zwischen zwei Fällen: und . Für den ersten Fall(f(x)= und gilt der Definitionsbereich - ∞ ∞ und der Wertebereich ∞. Hier ist die Monotonie streng monoton fallend und der Funktionsgraph nähert sich im Unendlichen an die x-Achse an . . die asymptoten: (für x unendlich) Beim zweiten Fall(f(x)= gilt der Definitionsbereich - ∞ ∞ und der Wertebereich ∞. Die Monotonie ist hier im Unterschied zum ersten Fall streng monoton wachsend. Asymptoten für - ∞). ?? nach unten geöffnet? Die Funktionen und –x sind von besonderer Bedeutung. ist kurz die Funktion. Die Funktionsgraphen der beiden Funktionen sind spiegelsymmetrisch zur Achse angeordnet. Diese Eigenschaft trifft allgemein für jede Basis ≠ zu, . die Kurven von und gehen durch Spiegelung an der Achse ineinander über. Dieser Graph stellt die Funktion dar. Auffällig ist hier, dass die Funktion im positiven sehr steil ansteigt, schneller als Potenzfunktionen. Im negativen Bereich nähert sich die Funktion asymptotisch der x-Achse, erreicht sie aber nie. Dieser Graph stellt die Funktion –x dar. Die allgemeine Form der Funktion ist × . Durch Einsetzen verschiedener Werte für die Variable wird der Funktionsgraph gestreckt. × ex (mit 3 gestreckt) × –x Erklärung wegen Verschiebung auf y-Achse? 2.2.Der Viktoriasee Der Viktoriasee (auch Victoria Nyanza, früher Ukerewesee) liegt in der ostafrikanischen Hochebene, über dem Meeresspiegel, und ist Teil der Staaten Tansania, Uganda und Kenia. Er ist der drittgrößte See der Welt (nach dem Kaspischen Meer und dem Oberen See) und mit km², dies entspricht in etwa der Fläche Bayerns oder Irlands, der zweitgrößte Süßwassersee der Welt. Der Viktoriasee ist der größte See Afrikas. An seinen Ufern lebten etwa Millionen Menschen. Die Fläche des Sees teilen sich die Staaten Tansania der Seefläche), Uganda und Kenia . Seine Küstenlinie hat eine Länge von km, davon entfallen km auf Tansania, km auf Uganda und km auf Kenia. Seine Länge beträgt km, seine Breite km und er fasst ein Volumen von km³ Quelle: : de.wikipedia.org/wiki/Victoriasee Trotz seiner Größe ist er mit einer maximalen Tiefe von und einer durchschnittlichen von sehr flach. Im Norden grenzt sein Ufer an den Äquator. Aufgrund dieser tropischen Lage beträgt die Wassertemperatur ganzjährig zwischen und 29,0°C. Der Viktoriasee wurde von dem britischen Forscher John Speke entdeckt, der auf der Suche nach dem Ursprung des Nils war. Der See hat mehrere Zuflüsse, jedoch als einzigen Abfluss den Nil. 2 Quelle: www.inhaltsangabe.info/erdkunde/victoriasee-tansania-afrika 2.3.Das Problem des Wachstums der Wasserhyazinthe Das nicht natürliche Vorkommen 4 der Wasserhyazinthe (Eichhornia crassipes) wurde erstmals am Viktoriasee festgestellt. 3 Ihr eigentlicher Ursprung liegt in Brasilien. wurde sie innerhalb weniger Jahre auch nach Australien, Japan, Indien und Afrika verschleppt. 5 Die Wasserpflanze verdoppelt ihre Fläche bei optimaler Temperatur, zwischen und °C in bis zu Tagen. Ohne Fressfeinde kann sich die Wasserhyazinthe schnell im See ausbreiten. (Quelle: www.inhaltsangabe.info/erdkunde/victoriasee-tansania-afrika Somit wächst der See bei besonders günstigen Verhältnissen um bis zu ha pro Woche zu. 3 Dies entspricht einer Menge von Pflanzen pro Tag.(Quelle: www.berliner-zeitung.de/archiv/der-victoriasee-droht-an-der-wucherpflanze-zu-ersticken-im-wuergegriff-der-wasserhyazinthe,10810590,9395880.html) war der ugandischen Küste mit der Pflanze bedeckt. 4 Dies hatte eine Zerstörung der Ufer, Überwucherung der Strände, Blockierung der Häfen sowie Mangel an Sauerstoff im Wasser zur Folge. Dadurch verendeten Fische und es wurde ein optimaler Lebensraum für Schnecken, Moskitos und Schlangen geschaffen. 3 Durch die dichte Besiedlung an seinen Ufern hat der See heute mit massiven Umweltproblemen wie . Verschmutzung und Sauerstoffmangel zu kämpfen. Aufgrund der extremen Krisenerscheinungen wurde der Lake Victoria vom Global Nature Fund zum „bedrohten See des Jahres 2005“ erklärt. 4 Die von Pflanzen bedeckte Fläche wächst jede Woche um bis zu . Dies entspricht einem Wachstumsfaktor von Im Sommer bedeckten Wasserhyazinthen auf dem Viktoriasee (Gesamtoberfläche km²) eine Fläche von km². f(x)=f(0)⋅at wobei der anfangsbestand ist und a die wachstumsrate (bei dir ist. Also: (Quelle: www.onlinemathe.de/forum/exponentielles-Wachstum-der-Wasserhyazinthe Mögliche Lösungsansätze Um eine fortlaufende Ausbreitung der Wasserhyazinthe zu verhindern, werden als Gegenmaßnahmen Mähmaschinen und als biologische Lösung der Rüsselkäfer (Neochetina eichhorniae und N. bruchi) eingesetzt. Dieser Käfer ernährt sich von lebenden oder abgestorbenen Pflanzenteilen und ist monophag, . er ist in der Lage sich von nur einer Organismenart zu ernähren (Quelle: de.wikipedia.org/wiki/Monophag). In einem kenianischen Teil des Viktoriasees konnte so die bedeckte Fläche mit Wasserhyazinthen innerhalb von 5 Jahren von auf ha reduziert werden. (daraus Funktion!)( Quelle: www.inhaltsangabe.info/erdkunde/victoriasee-tansania-afrika). Dies entspricht einer Verminderung der Fläche auf ein Zehntel. ( Effekt, dass sich die mit Wasserhyazinthen bedeckte Fläche innerhalb von fünf Jahren auf ein Zehntel verminderte (Quelle www.fr-online.de/wissenschaft/exponentialfunktion-ausser-kontrolle,1472788,3270884.html)) Wie es scheint, ist der Rüsselkäfer die einzige Lösung, da Chemikalien das Wasser, die Fische und somit die Anwohner verseuchen würden. Allerdings soll es angeblich Jahre dauern, bis der Käfer das Problem der Ausbreitung der Wasserhyazinthe beseitigen könnte. (Quelle: www.berliner-zeitung.de/archiv/der-victoriasee-droht-an-der-wucherpflanze-zu-ersticken-im-wuergegriff-der-wasserhyazinthe,10810590,9395880.html) Außerdem wächst die Hyazinthe schneller nach, als sie dem See entzogen wird. (Quelle: www.berliner-zeitung.de/archiv/der-victoriasee-droht-an-der-wucherpflanze-zu-ersticken-im-wuergegriff-der-wasserhyazinthe,10810590,9395880.html) - mögliches Ende des Wachstums, so was wie gesättigtes Wachstum ( s–sx) Falls es dem Rüsselkäfer allerdings gelingen sollte das Wachstum der Wasserhyazinthe abzuschwächen oder gar zu stoppen, könnte man den Zeitraum, den er für die Beseitigung der Pflanze benötigen würde, in einer Funktion ausdrücken. Dafür nehmen wir an, dass er die gleiche Zeit braucht, die er auch in dem kenianischen Teil des Sees gebraucht hat, . in fünf Jahren eine Reduzierung der Fläche von auf ha. Außerdem gehen wir davon aus, dass die Abnahme exponentiell erfolgte. Es gilt also: × mit dem Anfangswert und der noch unbekannten Wachstumsrate Außerdem gilt: × × . wurzel aus ≈  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten e-Funktion |
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Hallo ichbindiecoolste, 1.) f(x)=ex soll wohl f(x)=e^x heißen bzw. f(x)=exp(x). 2.) etwas weiter unten heißt es f(x)=ax , das soll wohl f(x)=a^x sein? 3.) Was f(x)=b × edx heißen soll ist mir völlig unklar; ich vermute, es soll f(x)=b∙e^x sein? Gruß von sm1kb |
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hi, ja mit den annahmen hattest du recht, ich hab es einfach von word rüberkopiert und darauf nicht geachtet, ist alles andere denn so weit verständlich |
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Hi, ganz gut. Im ersten Teil solltest Du etwas genauer sein. Deine Ausführungen zu e-Funktionen gelten so nur für die Funktion Die Funktion schneidet die y-Achse gar nicht, allgemeine Funktioen der Art haben eine von a abhängige Nullstelle ( oder keine, eine Funktion schneiden die y-Achse abhängig von . Ich weiss ja nicht, wie genau Dein(e) Mathelehrer(in) ist. ;-) |
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vergiss das mit besser, da hab ich mich gerade vertüddelt (bin nicht mehr der Jüngste |
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wie jetzt? alles zu dem ^–x ? ;-) |
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Hallo ich glaube er meint nur seine eigene Aussage "Die Funktion schneidet die y-Achse gar nicht", die nämlich falsch ist. |
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Ja, genau, das meinte ich. Keine Srge, mein BUFDI bringt mich jetzt ins Bett. |
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okay, vielen dank schonmal für die hilfe! |
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Ich finde da geht an manchen Stellen einiges durcheinander. Exponentialfunktionen sind zunächst mal einfach Funktionen der Art wobei und gilt. Und die e-Funktion ist nun einfach eine spezielle Exponentialfunktion und zwar also mit der eulerschen Zahl als Basis. Dein erster Satz lässt nämlich vermuten, dass Exponentialfunktion und e-Funktion nur zwei verschiedene Begriffe für ein und dieselbe Funktion sind. Da solltest du differenzieren. Und dann schreibst du, dass die einzige Funktion ist, die an jeder Stelle mit ihrer Ableitung übereinstimmt. Das ist aber so auch nicht korrekt. Denn das trifft auf jede Funktion zu. |
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