Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Fehlerabschätzung der Trapezregel

Fehlerabschätzung der Trapezregel

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Integration

Stetigkeit

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Differentiation, Integral, Partielle Differentialgleichungen, Stetigkeit

johnson aktiv_icon

22:47 Uhr, 01.02.2009

Hallo,

leider kann ich die Lösung zu der folgenden Aufgabe nicht finden. Hoffe ihr könnt mir helfen.
Die Aufgabe lautet:

Werten sie für das folgende Integral:

\int_{1}^{2} \sqrt{0.3 \cdot x^{3}} d x

die Fehlerabschätzungen der Trapeznäherung aus. Bestimmen sie daraus FALLS MÖGLICH die benötigte Streifenzahl, um den Fehler kleiner als

0,1

zu machen.

Mein Ansatz:

Die Formel zur Fehlerabschätzung lautet:

| E (f) | \leq \frac{b - a}{12} \cdot h^{2} \cdot | f'' (x) |

Wobei für das Argument von

f'' (x)

angegeben ist das es innerhalb des Intervalls

(a, b)

maximal sein soll. siehe auch Wikipedia, stichwort: Trapezregel.

Um die zweite Ableitung aufzustellen habe ich die Funktion zuerst umgestellt:

f (x) = {(0,3 \cdot x^{3})}^{\frac{1}{2}}

Damit ergibt die erste Ableitung:

f' (x) = 0,82158 \cdot x^{\frac{1}{2}}

und die zweite Ableitung:

f'' (x) = 0,41079 \cdot x^{- \frac{1}{2}}

umgestellt ist das:

f'' (x) = 0,41079 \cdot (\frac{1}{x})

Das bedeutet die zweite Ableitung wird bei kleiner werdendem

x

immer größer. Die Vorbedingung der Fehlerabschätzungsformel ist also bei

x = 1

gegeben.

Daher habe ich

f'' (1) = 0,41079

berechnet und in die Formel zur Fehlerabschätzung eingesetzt:

| E (f) | \leq \frac{2 - 1}{12} \cdot h^{2} \cdot | 0,41079 |

Das ergibt:

| E (f) | \leq \frac{1}{12} \cdot | 0,41079 | \cdot h^{2}

Ausgerechnet und mit der Bedingung das der Fehler kleiner als

0,1

sei versehen:

| E (f) | \leq 0,034232 \cdot h^{2} < 0,1

An dieser Stelle bin ich mir nicht so recht sicher. Kann ich nun einfach nach

h

auflösen?
Wenn ich die Gleichung wie folgt umschreibe:

0,034232 \cdot h^{2} = 0,1

und nach

h

auflöse erhalte ich

h = 1,709

.

Da

h

aber die Streifenbreite sein soll, das intervall für das ich das integral auswerten will aber nur die Länge von 1 hat, macht das nicht viel Sinn.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pwmeyer aktiv_icon

07:57 Uhr, 02.02.2009

Hallo,

Dein Ergebnis bedeutet einfach, dass 1 Streifen ausreicht, also

\frac{1}{2} \cdot (f (1) + f (2))

Vergleicht man diesen Wert mit dem tatsächlichen, so ist der Fehler auch kleiner als

0.1

.

Gruß pwm

johnson aktiv_icon

08:32 Uhr, 02.02.2009

Aber

h

ist doch die Streifenbreite und der Streifen kann maximal 1 gross sein. Muss man

h

in solch einem Fall generell auf das kleinstmögliche abrunden

(\in

diesem fall auf die Intervallbreite von

1)

?

Kann ich denn dann immer davon ausgehen das beim Abrunden die genauigkeit nicht anders ist als erwartet? Dachte bisher ich hätte die Formel falsch angewendet.

johnson aktiv_icon

01:46 Uhr, 03.02.2009

Danke für die Antwort. Auch wenn es bisher nicht so hilfreich war.

Ich wäre ja immer noch brennend an oben gestellter Frage interessiert.

571799

571418

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?