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Fläche mit kreisförmigen Loch, in das Kugel gelegt

Schüler

Tags: Analytische Geometrie, Dreiecksfläche, eben, Kreis, Kugeln, Mittelpunkt, Radius

Mathegirl22 aktiv_icon

13:31 Uhr, 18.11.2012

Hallo,
ich habe eine Fragehu folgender Aufgabe:
Gegeben ist eine Dreiecksfläche mit den Eckpunkten

A (4; 0; 0), B (0; 4; 0), C (0; 0; 2)

. In dieser Fläche befindet sich ein kreisförmiges Loch um den Mittelpunkt

M' (1; 1; 1)

mit dem Radius

r' = 1

. In dieses Loch wird eine Kugel

K

mit dem Radius

r = \sqrt{10}

gelegt. Bestimmen Sie den Mittelpunkt

M

der Kugel K.

Ich habe bereist die Ebenengleichung der Dreiecksfläche aufgestellt:

E : \vec{x} = (\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 4 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 4 \\ 0 \\ 2 \end{matrix})

Ich habe auch schon einen Normalenvektor berechnet:

\vec{n} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix})

und ein Normaleinheitsvektor ist

{\vec{n}}_{0} = (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} \\ - \frac{2}{\sqrt{6}} \end{matrix})

.
Die Koordinatenform der Ebene ist:

E : x + y - 2 z = 4

Ich Habe auch schon den Abstand zwischen Kugel und Ebene bestimmt mit der Formel

r'^{2} = r^{2} + d^{2}

. Demnach ist

d = 3

.
Und jetzt komme ich nicht weiter. Über einen Ansatz würde ich mich sehr freuen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Kreis und Mittelsenkrechte
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreise und Lagebeziehungen
Thaleskreis, Umkreis, Inkreis und Lage von Kreis und Gerade

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prodomo aktiv_icon

14:00 Uhr, 18.11.2012

Was du NICHT getan hast, ist, dir die Situation klarzumachen und einen Lösungsweg zu planen. Stattdessen hast du alle dir bekannten Formeln der Reihe nach zum Ausrechnen mehr oder weniger hilfreicher oder nutzloser Größen benutzt. So hast du alle nötigen Zwischenschritte fertig ( vorausgesetzt, du hast keine Fehler gemacht ) und siehst jetzt den Wald vor Bäumen nicht.
Du musst nach dem Zusammenhang zwischen der Aufgabensituation und den im Unterricht besprochenen Situationen suchen. Ein Hinweis: wenn eine Kugel in einem kreisrunden Loch steckt, welche Rolle spielt dann der Rand des Loches gegenüber der Kugel,

d . h

. zu welchem Begriff aus dem Unterricht passt er ? Das Loch steckt in einer Ebene. Ebenen können an Kugeln vorbeigehen, sie berühren...Wie sieht das hier aus ? Suche unter den Begriffen, die in dieser Situation vorkommen !

Mathegirl22 aktiv_icon

14:25 Uhr, 18.11.2012

Ich habe veruscht mithilfe dieser Größen, den Mittelpunkt zu bestimmen und bin jetzt mit der Lotgeraden und dem Normalenvektor zu einer Lösung gekommen. Ich habe für den Mittelpunkt

M (1 \frac{1}{3}; 1 \frac{1}{3}; - \frac{1}{3})

herausbekommen.
Also, ich habe die Lotgerade

g : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix})

und dann habe ich das in die Koordonatenform meiner Ebene eingesetzt:

1 + 1 t + 1 + 1 t - 2 + (1 - 2 t) = 4

und dann komme ich auf

t = \frac{2}{3}

und dann habe ich das in die Lotgeradengleichung eingesetzt und bin so auf den Mittelpunkt gekommen. Ist das richtig? Kann man das so machen? Oder habe ich das komplett falsch gemacht? Würde mich freuen, wenn mir jemand sagen kann, ob die Lösung richtig ist.

maxsymca

16:10 Uhr, 18.11.2012

Hallo,

überprüfe doch nochmal Deinen Normalenvektor...

Mathegirl22 aktiv_icon

22:45 Uhr, 19.11.2012

Ok. Ich habe einen Fehler gefunden und jetzt habe ich folgendes gerechnet: Ich habe das Kreuzprodukt aus den beiden Richtungsvektoren der Ebene gebildet. Also:

(\begin{matrix} - 4 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) X (\begin{matrix} - 4 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 8 \\ 8 \\ 16 \end{matrix})

und dann habe ich den Vektor zu

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

verkürzt, was ich ja darf, weil es sich um einen Normalenvektor handelt. Ist es jetzt richtig?
Also wenn ich jetzt die Lotgerade aufstelle, komme ich auf

g : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

und dann komme ich, wenn ich das in die Ebenengleichung einsetze auf

t = - 2

und dann ist

M (- 1; - 1; - 3)

. Ist das richtig?

prodomo aktiv_icon

09:09 Uhr, 20.11.2012

Der Normalenvektor

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

ist korrekt. Auch der Abstand

d

von

M'

M

ist richtig. Richtig ist auch, dass

M

auf der Lotgeraden liegen muss. Allerdings gibt es hier 2 Lösungen, denn die Kugel kann von oben oder unten in die Öffnung gesteckt werden. Da die Länge des Normalenvektors 3 sein muss, gilt

\vec{m} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) \pm k \cdot \vec{n}

mit

k = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{6}} = \sqrt{1,5}

Das Einsetzen der Lotgerade in die Ebenengleichung ist doch unsinnig, weil

M'

sowieso in der Schnittkreisebene (das ist nämlich der Bezug zum Unterricht ) liegt. Mit

E : x_{1} + x_{2} + 2 \cdot x_{3} = 4

ergibt sich dort auch nur

t = 0,

was genau diese Situation widerspiegelt.

1 + t + 1 + t + 2 \cdot (1 + 2 \cdot t) = 4

ergibt

4 + 6 \cdot t = 4

oder

t = 0

Mathegirl22 aktiv_icon

21:26 Uhr, 20.11.2012

Danke, ich habe jetzt den den Punkt herausbekommen:

M (1 + \sqrt{1} . 5; 1 + \sqrt{1,5}; 1 + 2 \sqrt{1,5})

Jetzt habe ich auch verstanden wie ich darauf komme. Vielen Dank!

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