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Flächenberechnung (Integrale)

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Integral

Daniel91 aktiv_icon

14:26 Uhr, 27.10.2009

Hallo,
wir haben heute zwei Aufgaben aufbekommen mit denen ich nicht so gut klarkomme und etwas Hilfe benötige. Ich stell jetzt erstmal die Erste hier rein, die zweite kommt dann später.

"Der Boden eines 2km langen Kanals hat die Form einer Parabel mit der Gleichung

y = \frac{1}{8} x^{2}

. Dabei entspricht eine Längeneinheit

1 m

in der Wirklichkeit.

a)

Berechnen Sie den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanals.
b)Wie viel Wasser befindet sich im Kanal, wenn er ganz gefüllt ist?
c)Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge enthält der zur halben Höhe gefüllte Kanal?"

Wär nett wenn ihr mir helfen könntet wie ich an diese Aufgabe rangehen muss.

Grüße Daniel

PS:Ich würde jetzt gerne eine Skizze einfügen von einem Bild welches neben der Aufgabe ist, aber irgendwie Zeichnet der Editor keine Parabel.. wär cool wenn mir das auch eben jemand erklären könnte.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

drgonzo aktiv_icon

15:09 Uhr, 27.10.2009

Hallo Daniel,

hast du auch eine Kanaltiefe oder -breite gegeben? Ansonsten lassen sich die Aufgaben nicht lösen.

Gruß Drgonzo

BjBot aktiv_icon

15:09 Uhr, 27.10.2009

Wer suchet der findet:

http//www.kepler-gymnasium.de/index/unterricht/mathematik/abi09lk//p_data/ga_anwendungen_l.pdf

Lösung auf Seite 3

Tarengrim aktiv_icon

15:10 Uhr, 27.10.2009

vielleicht hab ich etwas überlesen, aber ich denke da fehlt eine Angabe, nämlich wie hoch/niedrig der Kanal ist, wenn ich den Text richtig interpretiert habe.

Daniel91 aktiv_icon

15:35 Uhr, 27.10.2009

Da habt ihr recht, hab die Angaben vergessen, tut mir leid. Der Kanal ist 8 Meter breit und 2 Meter hoch/tief - wer sich die Aufgabe angucken möchte kann das in dem Link von BjBot machen, auf Seite 2 findet ihr sie (danke dafür). Da stehen auch die Lösungen, aber da gucke ich nicht drauf, möchte die Aufgabe nicht einfach nur abschreiben.

a)meine Schritte bisher:

A = \int_{- 4}^{4} (\frac{1}{8} x^{2}) d x

= {[\frac{1}{24} x^{3}]}_{- 4}^{4}

= (\frac{1}{24} \cdot 4^{3}) - (\frac{1}{24} \cdot {(- 4)}^{3})

Ist das Ergebnis davon schon die gesuchte Lösung?

BjBot aktiv_icon

15:37 Uhr, 27.10.2009

Überlege mal welche Fläche du damit bestimmt hast.

Daniel91 aktiv_icon

15:49 Uhr, 27.10.2009

Die Fläche außerhalb des Kanals? Ich habe die Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen bestimmt im Intervall

[- 4; 4],

also nicht die gesuchte. Neue Idee: Ich setze den Graphen um 2 nach unten

(f (x) = \frac{1}{8} x^{2} - 2)

um die "Kanalfläche" auszurechnen. Dann ist die Fläche, die ich brauche zwischen x-Achse und Graph.
Das wär dann:

A = \int_{- 4}^{4} (\frac{1}{8} x^{2} - 2) d x

= {[\frac{1}{24} x^{3} - 2 x]}_{- 4}^{4}

= (\frac{1}{24} \cdot 4^{3} - 2 \cdot 4) - (\frac{1}{24} \cdot {(- 4)}^{3} - 2 \cdot (- 4))

Da komm ich aber auf

0 \to

blödsinn, bzw. irgendwo ein Fehler. Dazu fällt mir auch noch eine Frage ein: Muss ich immer zuerst die höhere Zahl vom Intervall einsetzen?

BjBot aktiv_icon

15:54 Uhr, 27.10.2009

Oben auf deiner Seite wo die Aufgabe steht, steht doch was von Flächen zwischen zwei Graphen (falls du auch das LS Buch hast), das wäre die eine Möglichkeit.
Ansonsten kannst du auch einfach von dem Rechteck mit den Seitenlängen 8 und 2 deine oben berechnete Fläche abziehen.

Tarengrim aktiv_icon

16:01 Uhr, 27.10.2009

Beim integrieren berechnest du die Fläche "unter" der Funktion, oder besser, die Fläche die zwischen Funktion und der Achse liegt, die den gleichen Namen trägt wie die Variable.
Vielleicht hilft dir die Sichtweise weiter.

Daniel91 aktiv_icon

16:05 Uhr, 27.10.2009

Ok jetzt hab ich es geblickt..

10 \frac{2}{3}

kommt dann da raus wenn ich sie voneinander abziehe.
Bei

b

hab ich die Lösung jetzt schon gesehen, aber irgendwie hab ich da eine Blockade im Kopf - wieso muss ich da

2000 \cdot 10 \frac{2}{3}

rechnen? Er ist

2000

Meter lang, soviel hab ich da verstanden. Was sagen die

10 \frac{2}{3}

denn aus? Nur das ich eine Fläche von

10 \frac{2}{3}

Flächeneinheiten

(F . E .)

hab.

Und bei

c)

habe ich keine Ahnung und bin auch auf Hilfe angewiesen ;-)

BjBot aktiv_icon

16:15 Uhr, 27.10.2009

Die 32/3 FE bilden die Querschnittfläche, wenn du so willst die Grundfläche eines liegenden Prismas mit der Tiefe bzw Länge 2km=2000m.
Grundfläche * Höhe ergibt ja dann das Volumen.

Bei c) geht es im Prinzip erst mal um die Fläche zwischen y=1 und y=1/8x² da die halbe Höhe ja bei y=1 liegt (Fläche zwischen 2 Graphen).
Durch Prozentrechnung kriegst du dann nachher raus wieviel bezgl der Gesamtmenge (Teil b) das ausmacht.

Daniel91 aktiv_icon

16:49 Uhr, 27.10.2009

Das hab ich alles verstanden, aber bei der Prozentrechnung hapert es grade etwas (lang lang ists her..) wenn er halb hoch gefüllt ist passen

7545,71 m^{3}

rein aber wie kriege ich jetzt die %-Zahl davon?

BjBot aktiv_icon

16:54 Uhr, 27.10.2009

Das steht ja bei der Lösung in dem pdf, viel mehr kann man dazu auch nicht sagen.
Es gibt halt diese Formel W=p/100 * G und W ist hier ein Ergebnis von c) und G der Gesamtwert aus b)
Und das nach p umgestellt liefert p=100*W/G