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Flächeninhalt berechnen,gebrochen rationale Funkt.

Schüler , 13. Klassenstufe

Tags: Gebrochen-rationale Funktionen, Integral

Bea1005 aktiv_icon

10:06 Uhr, 26.12.2013

Ich habe eine gebrochen rationale Funktion gegeben, die Asymptote bestimmt und nun soll ich den Flächeninhalt von Grapf

f,

mit der

y -

achse, der schrägen Asymptote und der gerade

x = 4

bestimmen.

Ich habe die Lösung und die funktion mit reingestellt. Doch leider verstehe ich es von dieser Lösung gar nicht,....habe diese Aufgabe von einer alten Freundin bekommen,....

Von diesem Rechenweg verstehe ich einfach nur Bahnhof und es ist mir eine große Frage wie ich es ohne die Begrenzung der x-achse berechnen soll

Liebe Grüße und schonmal vielen Dank

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

rundblick aktiv_icon

10:42 Uhr, 26.12.2013

.
also, du hast die Funktion

f (x) = \frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} + 3 x + 2} = \frac{x^{2} \cdot (x + 1)}{(x + 2) \cdot (x + 1)}

oder?

da kannst du für alle

x \neq - 1

zuerst mal vereinfachen:

\to f (x) = \frac{x^{2}}{x + 2} = x - 2 + \frac{4}{x + 2}

und die schräge Asymptote hat die Gleichung

g (x) = x - 2

für die gesuchte Fläche musst du dann nur noch das Integral

\int_{0}^{4} (f (x) - g (x)) \cdot d x

also

\int_{0}^{4} \frac{4}{x + 2} \cdot d x

berechnen

das kannst du nun sicher selber?

\to . .

. ?

Bea1005 aktiv_icon

13:31 Uhr, 26.12.2013

das sieht ja bei dir auch nicht so schwer aus ....aber was um alles in der welt wurde in meiner Lösung gemacht?

Und wieso muss ich die Differenzfunktion bilden? Die Graphen schneiden sich ja nicht oder?

rundblick aktiv_icon

20:18 Uhr, 26.12.2013

"
Und wieso muss ich die Differenzfunktion bilden? Die Graphen schneiden sich ja nicht oder?
"

\to

Richtig, die schneiden einander nicht

\to

ABER : du solltest ja nur die Fläche berechnen,
die von

x = 0

bis

x = 4

begrenzt ist

\to

oder?

Also: mach dir eine Zeichnung ; im selben Bild

\to

1) f (x) = \frac{x^{2}}{x + 2}

2) g (x) = x - 2

3)

und die beiden Geraden

x = 0

und

x = 4

und mal dir dann die gesuchte Fläche farbig an

\to

du wirst sehen, dass

f (x)

oberer Rand und

g (x)

unterer Rand der Fläche

F

ist ;
deshalb kannst du schlicht mit der Differenz rechnen:

F = \int_{0}^{4} (f (x) - g (x)) \cdot d x

und nochmal

\to

schreib nun doch deine Stammfunktion auf
und berechne den Wert des bestimmten Integrals

. .

.

also

\to . .

. ?

Atlantik aktiv_icon

10:15 Uhr, 27.12.2013

Ein anderer Weg zum Verstehen:

f (x) = \frac{x^{2}}{x + 2} \to g (x) = \frac{x^{2}}{x + 2} + 2

g (x) = x - 2 \to h (x) = x - 2 + 2 = x

mfG

Atlantik

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