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Folge Grenzwert n-te Wurzel

Universität / Fachhochschule

Tags: Folgen, Grenzwert

tbznn aktiv_icon

11:11 Uhr, 10.10.2012

hallo,

wie geht man bei einer n-ten wurzel vor, wenn man den grenzwert ausrechnen will?

n \sqrt{2^{n} + 3^{n}}

das

n

vor der wurzel soll n-te wurzel heißen

die n-te wurzel ist doch

{(2^{n} + 3^{n})}^{\frac{1}{n}}

oder nicht?

danke

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Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Shipwater aktiv_icon

11:16 Uhr, 10.10.2012

In beide Richtungen abschätzen (nutze Monotonie der Wurzel) und dann Einschließungskriterium/Sandwichtheorem oder wie ihr es auch immer nennt.

tbznn aktiv_icon

12:04 Uhr, 10.10.2012

wie würde man dann grob vorgehen?

Edddi aktiv_icon

12:48 Uhr, 10.10.2012

. .

. man könnte auch umformen:

\sqrt[n]{2^{n} + 3^{n}}

= \sqrt[n]{3^{n} \cdot (\frac{2^{n}}{3^{n}} + 1)}

= \sqrt[n]{3^{n}} \cdot \sqrt[n]{{(\frac{2}{3})}^{n} + 1}

= 3 \cdot \sqrt[n]{{(\frac{2}{3})}^{n} + 1}

;-)

Shipwater aktiv_icon

16:39 Uhr, 11.10.2012

@ Edddi: Du musst dann allerdings noch

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{{(\frac{2}{3})}^{n} + 1} = 1

sauber zeigen.
Ich würde einfach gleich die Abschätzung

3 = \sqrt[n]{3^{n}} \leq \sqrt[n]{2^{n} + 3^{n}} \leq \sqrt[n]{3^{n} + 3^{n}} = \sqrt[n]{2} \cdot 3

benutzen.

Edddi aktiv_icon

20:37 Uhr, 11.10.2012

. .

. man kann doch einfach die verschachtelten Grenzwerte einzeln betrachten, oder?:

Erst den Wurzelterm

lim_{n \to \infty} {(\frac{2}{3})}^{n} + 1 = 1

und somit

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1} = 1

Und somit:

lim_{n \to \infty} 3 \cdot \sqrt[n]{{(\frac{2}{3})}^{n} + 1} = 3

. .

. aber auch die Abschätzung ist sauber!

;-)

Shipwater aktiv_icon

20:58 Uhr, 11.10.2012

Ja der Weg führt sicherlich auch zum richtigen Ergebnis. Es sollte sich auch allgemein beweisen lassen, dass diese Technik stimmt. Ist halt immer die Frage von "was wurde schon bewiesen". Aber jetzt hat der Threadersteller ja zwei Wege präsentiert bekommen, vielleicht findet er selber heraus für welchen ihm schon die richtigen Mittel zur Verfügung stehen.

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