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Für welchen Parameter k schneiden sich die Geraden

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Geradengleichung, Schnittpunkt, Vektor, Vektorrechnung

aventuriny aktiv_icon

13:06 Uhr, 30.10.2013

Ich habe Probleme bei folgender Aufgabe:

Untersuchen Sie, für welchen Wert des Parameters

k

sich die beiden Gerade schneiden.

a) g : x = (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 4 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

und

h : x = (\begin{matrix} 2 - k \\ k - 9 \\ 4 - k \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 2 \\ - 3 \end{matrix})

b) g : x = (\begin{matrix} 5 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 7 \\ 2 \end{matrix})

und

h : x = (\begin{matrix} 7 + 3 k \\ 2 k \\ 9 - 4 k \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ - 1 \end{matrix})

Ich würde die 2 Gleichungen zunächst gleichsetzen um 3 Gleichungssysteme zu haben.

a)

1 - 4 r = 2 - k + 3 s

- 2 + 1 r = k - 9 - 2 s

3 + 2 r = 4 - k - 3 s

b)

5 + 3 r = 7 + 3 k + 2 s

0 + 7 r = 2 \cdot k + 4 s

1 + 2 r = 9 - 4 \cdot k - 1 s

Jetzt müsste man das umstellen aber ich weiß nicht so richtig wie. Darf ich zum Beispiel bei

1 - 4 r = 2 - k + 3 s

einfach

+ k

rechnen um es auf die andere Seite zu bekommen? Oder gehört es zusammen mit der 2?

Anschließend könnte man das in den Taschenrechner eingeben in ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Schnittpunkte bestimmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Geraden im Raum
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme
Parallelverschiebung
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Eva88 aktiv_icon

13:19 Uhr, 30.10.2013

Kannst du genau so machen. Dann hast du ein LGS mit 3 Unbekannten. Zur Kontrolle:

k = 4

aventuriny aktiv_icon

13:40 Uhr, 30.10.2013

Danke für die Antwort. Kannst du mir sagen (oder irgendwer anders) ob das so richtig ist?

Umgestellt:

a)

- 4 r + k - 3 s = 1

1 r - k + 2 s = - 7

2 r + k + 3 s = 1

k = 4

r = 3

s = - 3

b)

3 r - 3 k - 2 s = 2

7 r - 2 k - 4 s = 0

2 r + 4 k + 1 s = 8

k = - 2

r = 4

s = 8

Kann ich bei der folgenden Zeile so umstellen:

0 + 7 r = 2 k + 4 s ... ... .

- 2 k

7 r - 2 k = 4 s ... ... ... . .

- 4 s

7 r - 2 k - 4 s = 0

Eva88 aktiv_icon

13:44 Uhr, 30.10.2013

Ist richtig, die Lösungen habe ich.

aventuriny aktiv_icon

15:13 Uhr, 30.10.2013

Okay danke!

Wie müsste ich denn vorgehen wenn ich herausfinden sollte für welchen Wert des Parameters

k

die beiden Geraden parallel sind oder identisch?

Bei Windschief könnte man bei

a)

ja sagen

k =

ungleich 4 und bei

b) k =

ungleich

- 2

Eva88 aktiv_icon

15:43 Uhr, 31.10.2013

Für parallel oder identisch müssen die Richtungsvektoren gleich oder ein Vielfaches sein. Da du kein

k

in den RV's hast, kannst du die nicht ändern und kannst somit auch keine Parallelität ( identisch ) erreichen.

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