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GPS - Positionsbestimmung

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Analytische Geometrie, eben, Ebenengleichung, GPS, Koordinaten, Kugelgleichung, Kugeln, Lineare Algebra, Positionsbestimmung, Schnittkreis, Schnittpunkt, Vektor

SchlechtinMathex aktiv_icon

23:03 Uhr, 29.10.2015

Ich halte nächste Woche eine Präsentationsleistung in Mathe über das Thema GPS und soll in einer Aufgabe die Position einer Person bestimmen.

Gegeben: Sat1

(2,3,3)

und Radius

d 1 = 3,3;

Sat2

(3,2,2)

und Radius

d 2 = 3,1

.
Der Koordinatenursprung ist der Erdmittelpunkt und für die Erdoberfläche gilt EO=x1^2+x2^2+x3^2=1,
da der Radius der Erde als Längeneinheit genommen wird.

Ich soll nun den Standort der Person herraufinden.
Ich habe versucht zunächst den Schnittkreis von Sat1 und Erdoberfläche herrauszufinden, also habe ich Sat1 in die Kugelgleichung eingesetzt und mit EO subtrahiert und bekam

4 x 1 + 6 x 2 + 6 x 3 - 22 = - \frac{989}{100},

was ich dann mit

100

multipliziert habe und dann plus

22 \to 400 x 1 + 600 x 2 + 600 x 3 = 1211

damit habe ich meinen ersten Schnittkreis. Wenn ich das gleiche mit Sat2 tue ensteht:

600 x 1 + 600 x 2 + 400 x 3 = 1339

Ist bis dahin alles richtig? Und wenn ja was muss ich als nächstes tun? Ich weiss das wenn die beiden Schnittkreise sich schneiden, 2 Schnittpunkte entstehen, wobei auf dem einen der gesuchte Standort ist, aber wie finde ich das herraus??

Bitte helft mir sonst bin ich aufgeschmissen!
Vielen Dank für die Hilfe!!1

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Schnittpunkte bestimmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme
Parallelverschiebung
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen

Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme
Parallelverschiebung

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ledum aktiv_icon

23:53 Uhr, 29.10.2015

Hallo
solange man nur 2 Sattelitendaten hat, kann man nicht entscheiden, welcher der 2 Schnittpunkte richtig ist! aber meist liegt der 2 te so weit ab

z . B

. im Atlantik , dass das nicht so wichtig ist. Sonst braucht man einen dritten Satelliten.
Deine Rechnungen hab ich nicht überprüft, aber was ist denn dein

(x, y, z)

für die "normalen" Erdkoordinaten?

d . h

. wo liegt dir

x, y, z

Achse?
Gerade sehe ich, dass ich nicht wirklich kapiert habe, was du rechnest
ist

d!

der Abstand von der Person? oder der Radius mit dem er um die Erde kreist?
was du aufgeschrieben hast sieht nicht wie ein Kreis aus? hast du Quadrate vergessen?
Gruß ledum

SchlechtinMathex aktiv_icon

00:12 Uhr, 30.10.2015

HII danke für die schnelle Antwort!

Ich verlinke dir mal die Aufgabe nur, dass die Koordinaten der Satelliten und der Radien anders sind in meiner Aufgabe!

Aufgabe 5 Paradigmatisches Beispiel. Da ist auch ein Bild! Wäre nett wenn du das kurz abchecken würdes!

http//bildungsserver.hamburg.de/contentblob/3871658/data/pdf-g5-lernheft.pdf

SchlechtinMathex aktiv_icon

00:25 Uhr, 30.10.2015

ich schreibe mal meine Rechnung hin:

Sat1=

{(x 1 - 2)}^{2} + {(x 2 - 3)}^{2} + {(x 3 - 3)}^{2} = {3,3}^{2}

Erdoberfläche=

x 1^{2} + x 2^{2} + x 3^{2} = 1

Schnittkreis herrausfinden von Sat1 und EO:

I

x 1^{2} - 4 x 1 + 4 + x 2^{2} - 6 x 2 + 9 + x 3^{2} - 6 x 3 + 9 = 10,89

x 1^{2} + x 2^{2} + x 3^{2} = 1

II-I

4 x 1 + 6 x 2 + 6 x 3 - 22 = - \frac{989}{100} | \cdot 100 | + 22

E 1 : 400 x 1 + 600 x 2 + 600 x 3 = 1211

das gleiche für Sat2 mit EO:
III

x 1^{2} - 6 x 1 + 9 + x 2^{2} - 6 x 2 + 9 + x 3^{2} - 4 x 3 + 4 = 9,61

x 1^{2} + x 2^{2} + x 3^{2} = 1

III-I

6 x 1 + 6 x 2 + 4 x 3 - 22 = - \frac{861}{100} | \cdot 100 | + 22

E 2 : 600 x 1 + 600 x 2 + 400 x 3 = 1339

maxsymca

12:07 Uhr, 30.10.2015

Hm,

S 1 = (2,3,3)

ist

\sqrt{S 1^{2}} = 4.69

weit weg. Bei einen Erdradius

r = 1

gibt es für

d = 3.3

keinen Schnittkreis...
Oder versteh ich da was flasch?
Vielleich mal ein Tipp: Geogebra und die Scene einzeichnen....

Gruß maxsigma

SchlechtinMathex aktiv_icon

13:04 Uhr, 30.10.2015

Hi also ich habe es so verstanden, dass wenn der Erdradius als Einheit genommen wird, sprich 6371km. Bei einer Entfernung von

3,3

Einheiten muesste der Radius der Kugel ungefähr 21000km betragen, was fuer diese Satelliten ueblich ist... Ausserdem wuerde die Aufgabe keinen Sinn ergeben, wenn sich Die Satelliten und die Erde nicht Schneiden..
Aber trotzdem Dankeschön!

ledum aktiv_icon

13:22 Uhr, 30.10.2015

Hallo
1. maxsymca hat natürlich Recht, wenn der Abstand zum Erdmittelpunkt

\sqrt{21}

ist , wie bei dem Punkt

/ 2,3,3)

dann ist der Abstand zur Erdoberfläche größer als

3,69, d, h,

die

3,3

sind nicht müglich
2. in deiner Rechnung zu 1 hast du aus

4 + 9 + 9 + 1 = - 22

gemacht. erstens hast du die 1 von

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = 1

vergessen, zweitens ist das positiv
in 2 hast du auch die falschen Koordinaten für den Mittelpunkt eingesetzt

(3,3,2)

statt

3,2,2,

und wieder denselben Fehler wie in 1
Woher hast du die Angaben, wenn sie von deiner LehrerIn kommen, frag nach, wenn du sie ausgedacht hast musst du

z . b, d_{1} = 3

oder

4,3

machen statt der

3,3

.
Also kommentier das erstmal , denn mit den angaben kriegen wir auch zu zweit keinen Standort raus.
und denk dran, deine Gleichung ist kein Kreis, sondern eine ebene, nur zusammen mit der Gl für die Erdkugel ist es ein Kreis.( wenn sich die Ebene und die Erdkugel schneiden würden,
Gruss ledum

SchlechtinMathex aktiv_icon

13:41 Uhr, 30.10.2015

Zu 1. Ich weiss nicht ich habe diese Angaben von meiner Lehrerin bekommen. Ausserdem verstehe ich die Rechnung nicht mit der Wurzel

21

und den3,69.
Zu 2. Ich habe mivh aussversehen vertippt

(3,3,2)

ist schon richtig. Und muesste da

+ 22

stehen? Und was meinst du mit der 1 von

x 1^{2} + x 2^{2} + x 3^{2} = 1

? Ich habe doch

1 - 10,89

gerechnet.
Und zu deinem letzen punkt. Ich dachte wenn ich die Kugel der Erde von der Kugel des Satelliten abziehe bekomme ich den Schnittkreis?

Danke für die Antwort

ledum aktiv_icon

17:04 Uhr, 30.10.2015

Hallo
den Abstand eines Punktes

((x, y, z)

ℝ^{3}

vom Nullpunkt berechnet man mit

\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

nach Phythagoras für deine 2 Punkte ist das also

\sqrt{2^{2} + 3^{2} + 3^{2}} = \sqrt{21} = 4,58

beide Satelliten sind also auf einem Radius von

4,58

Erdradien, haben also von der Erdoberfläche mindesten

3,58

Erdradien Abstand, es kann also

d

nicht kleiner als

3,58

sein. Da musst du unbedingt deine Lehrerin fragen, auch Lehrer vertun sich mal mit Aufgaben!

jetzt zu deinem Fehler , ich hatte übersehen , dass du die 1 schon von den

10,89

abgezogen hattest aber warum dann plötzlich

- . 9.89

?
richtig war x1^2−4x1+4+x2^2−6x2+9+x3^2−6x3+9=10,89
jetzt ziehst du auf beiden Seiten

x 1^{2} + x 2^{2} + x 3^{2} = 1

ab, dann fallen links die quadrate weg, rechts steht

10,89 - 1

du hast also jetzt

4 x 1 + 6 x 2 + 6 x 3 + 22 = \frac{989}{100}

jetzt machst du zu viel auf einmal. entweder zuerst

- 22

auf beiden Seiten dann hast du

4 x 1 + 6 x 2 + 6 x 3 = \frac{989}{100} - 22 = - \frac{1211}{100}

und dann

\cdot 100

oder umgekehrt. das Ergebnis ist

400 x_{1} + 600 x_{2} + 600 x 3 = - 1211

Wenn man die Ebene zeichnet, sieht man, dass sie die Erdkugel nicht schneidet , es gibt also keinen Schnittkreis.
Es geht also nicht weiter, wenn du nicht von deiner Lehrerin bessere Punkte oder Abstände

d

kriegst.
Gruß ledum

ledum aktiv_icon

17:05 Uhr, 30.10.2015

Hallo
den Abstand eines Punktes

((x, y, z)

ℝ^{3}

vom Nullpunkt berechnet man mit

\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

nach Phythagoras für deine 2 Punkte ist das also

\sqrt{2^{2} + 3^{2} + 3^{2}} = \sqrt{21} = 4,58

beide Satelliten sind also auf einem Radius von

4,58

Erdradien, haben also von der Erdoberfläche mindesten

3,58

Erdradien Abstand, es kann also

d

nicht kleiner als

3,58

sein. Da musst du unbedingt deine Lehrerin fragen, auch Lehrer vertun sich mal mit Aufgaben!

jetzt zu deinem Fehler , ich hatte übersehen , dass du die 1 schon von den

10,89

abgezogen hattest aber warum dann plötzlich

- . 9.89

?
richtig war x1^2−4x1+4+x2^2−6x2+9+x3^2−6x3+9=10,89
jetzt ziehst du auf beiden Seiten

x 1^{2} + x 2^{2} + x 3^{2} = 1

ab, dann fallen links die quadrate weg, rechts steht

10,89 - 1

du hast also jetzt

4 x 1 + 6 x 2 + 6 x 3 + 22 = \frac{989}{100}

jetzt machst du zu viel auf einmal. entweder zuerst

- 22

auf beiden Seiten dann hast du

4 x 1 + 6 x 2 + 6 x 3 = \frac{989}{100} - 22 = - \frac{1211}{100}

und dann

\cdot 100

oder umgekehrt. das Ergebnis ist

400 x_{1} + 600 x_{2} + 600 x 3 = - 1211

d

kriegst.
Gruß ledum

ledum aktiv_icon

17:12 Uhr, 30.10.2015

Hallo
den Abstand eines Punktes

((x, y, z)

ℝ^{3}

vom Nullpunkt berechnet man mit

\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

nach Phythagoras für deine 2 Punkte ist das also

\sqrt{2^{2} + 3^{2} + 3^{2}} = \sqrt{21} = 4,58

beide Satelliten sind also auf einem Radius von

4,58

Erdradien, haben also von der Erdoberfläche mindesten

3,58

Erdradien Abstand, es kann also

d

nicht kleiner als

3,58

sein. Da musst du unbedingt deine Lehrerin fragen, auch Lehrer vertun sich mal mit Aufgaben!

jetzt zu deinem Fehler; Leider ist es mein Fehler deine Rechnung ist richtig, ich hatte übersehen, dass du die Gleichung mit

- 1

multiplziet hattest, Entschuldige den Fehlalarm!,

400 x_{1} + 600 x_{2} + 600 x 3 = 1211

ist also richtig.
Wenn man die Ebene zeichnet, sieht man, dass sie die Erdkugel nicht schneidet , es gibt also keinen Schnittkreis.
Es geht also nicht weiter, wenn du nicht von deiner Lehrerin bessere Punkte oder Abstände

d

kriegst.
Gruß ledum

maxsymca

17:23 Uhr, 30.10.2015

Uuups,

das hast Du schön und oft gesagt ;-)...
Ich steuere mal Geogebra bei:

Werner-Salomon aktiv_icon

21:46 Uhr, 30.10.2015

Die Aufgabenstellung beschreibt die Funktion von GPS nur ungenau. Wie erwähnt senden die Satelliten Position und Zeitsignal. Um im Empfänger die Entfernung zu einen der Satelliten in ausreichender Genauigkeit bestimmen zu können, wäre eine Uhr im Empfänger notwendig, die auf Millionstel Sekunden oder besser mit den Uhren in den Satelliten abgeglichen ist - das folgt auch unmittelbar aus der Aufgabestellung.
Solche Uhren sind heute im Taschenformat nicht zu haben!

Daher wird auch nicht die Entfernung zum Satelliten bestimmt, sondern aus der Differenz von zwei Zeitsignalen die Differenz der Entfernungen zu jeweils zwei Satelliten. Aus dieser Differenz lässt sich dann ein Hyperboloid bestimmen, der zwischen den zwei Positionen der Satelliten im Raum aufgehängt ist. Folglich sind für eine Positionsbestimmung mindestens drei Satelliten erforderlich. In der Praxis werden vier Satelliten benötigt, um auch noch eine Aussage über die Qualität der Positionsberechnung treffen zu können.

Gruß
Werner

SchlechtinMathex aktiv_icon

22:35 Uhr, 30.10.2015

Hallo,

in der Aufgabe steht, dass der Abstand von der Person zum Satelliten

d = 3,3

Erdeinheiten sein, also müssen die sich doch schneiden.

Ich verlinke nochmal die ähnliche Aufgabe. Dort gibt es Lösungen dazu, was bedeutet, dass die Kugeln die Erde sehrwohl schneiden. In den Lösungen wird gesagt, dass man die Ebenen der beiden Schnittkreise herrausfinden muss und kann, und aus den Beiden dann die Schnittgerde, welche denke ich durch die Position des GPS Empfängers gehen soll, aussrechnen kann!

guckt euch bitte die Aufgabe an. Der einzige Unterschied zu meiner Aufgabe ist, dass ich für die Koordinaten und Entfernungen andere Werte habe. Scrollt bitte runter bis Aufgabe 5 Paradigmatisches Beispiel...

http//bildungsserver.hamburg.de/contentblob/3871658/data/pdf-g5-lernheft.pdf

vielen Dank für alles bis jetzt

maxsymca

22:50 Uhr, 30.10.2015

Hallo,

ich hab Dir Deine Aufgabe aufgemalt - ledum hats ausführlich vorgerechnet.
Mit Deinen Angaben schneiden sich Erd- und Sat-Kugeln NICHT. Ende der Durchsage!
Da helfen auch ähnliche Aufgaben nicht weiter.

Gruß

m

SchlechtinMathex aktiv_icon

22:55 Uhr, 30.10.2015

Okay es bringt wohl nichts.Ich denke ihr irrt euch, da die verlinkte Aufgabe eine Abitur Aufgabe war und die ist wohl kaum falsch... Naja egal danke ich versuche mich alleine weiter.

Werner-Salomon aktiv_icon

23:27 Uhr, 30.10.2015

Das Missverständnis rührt wohl daher, dass Du - soweit ich das nachvollziehen kann - die Aufgabe falsch zitierst hast.
Auf der Seite 4 Aufgabe 5 paradigmatisches Beispiel ist angegeben:
Sat1 (2|2|3)

d_{1} = 3, 2

Sat2 (3|2|2)

d_{2} = 3, 3

d.h. der Abstand beider Satelliten vom Erdmittelpunkt ist

\sqrt{17} \approx 4, 123

womit sich für beide Kugeln mit den Radien 3,2 und 3,3 Schnittkreise mit der Erdkugel ergeben.

Gruß
Werner

SchlechtinMathex aktiv_icon

23:29 Uhr, 30.10.2015

ich hatte mehrmals gesagt, dass bei meiner aufgabe die koordinaten und die abstände nur anders sein. Ich habe die Aufgabe nicht zitiert

Werner-Salomon aktiv_icon

23:36 Uhr, 30.10.2015

.. und Deine Angaben sind:
Gegeben: Sat1 (2,3,3) und Radius d1=3,3; Sat2 (3,2,2) und Radius d2=3,1.
Ist das richtig?

SchlechtinMathex aktiv_icon

23:49 Uhr, 30.10.2015

fast. bei sat2

(3,3,2)

maxsymca

11:23 Uhr, 31.10.2015

Ein letztes Mal, vielleicht lässt sich das ja klären?
In GeoGebra einmal die Lernheft-Aufgabe und einmal die gleiche Aufgabe mit Deinem Angaben.
Was ist das Problem?

Gruß

m

SchlechtinMathex aktiv_icon

12:05 Uhr, 31.10.2015

Es ist gibt kein Problem. Ausserdem zum

10

. Mal sat2(3,3,2)

maxsymca

12:29 Uhr, 31.10.2015

In Deiner Aufgabe Sat2

(3,3,2)

nicht wie im Ursprungspost Sat2

(3,2,2)

.
Dann schneidet zumindest Sat2 die Erde, aber Sat1 ist immernoch zu weit weg...

Gruß

m

SchlechtinMathex aktiv_icon

12:33 Uhr, 31.10.2015

Ich sehe Grade das sät1 auch falsch ist sät1(2,3,3)!!!! Es wäre sehr sehr nett wenn du das bitte nochmal kurz ergänzen wuerdest. Diese Zeichnung wuerde mir sehr helfen!

maxsymca

17:14 Uhr, 31.10.2015

Dann sind wir wieder auf Anfang. Die Kugeln schneiden sich nicht.
In meiner letzten Zeichnung gehörte der Schnittkreis zu

S 1

und

S 2

war zu weit weg.
Wenn ich jetzt

S 1

auf

(2,3,3)

setzte haben wir wieder eine leere Menge...
Tja, Du sollest einfach passende Werte annehmen, wenn Du zum Ziel kommen willst.

d 1 = d 2 = 3,8

wäre eine gute Wahl...

SchlechtinMathex aktiv_icon

17:56 Uhr, 31.10.2015

okay vielen Dank! Ich habe jetzt meiner Lehrerin bescheid gesagt, dass die Satelliten mit der Erde keinen Schnittkreis oder ähnliches haben. Warte nur noch auf ihre Antwort. Vielen Dank für alles

!!!

ledum aktiv_icon

18:36 Uhr, 31.10.2015

Hallo
Du musst uns ja nicht glauben, aber es ist eine mathematische Tatsache, dass jeder Satellit in dessen Position 2 mal die 3 und einmal die 2 ist mehr als

3,5

Erdeinheiten von der Erde entfernt ist, dazu hast du Zeichnungen und Erläuterungen in großer Menge gekriegt. Weitere antworten sind überflüssig, solange sich nicht entweder

d

oder die Koordinaten der Satelliten ändern.
in den Aufgaben , die losbar sind, von denen du immer redest haben die Satelliten nähere Positionen. 2 zweien und eine

3,

ihre kleinste Diatanz von der Erde Ist deshalb

\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 3^{2}} - 1 = \sqrt{17} - 1 = 3,123

Erdradien.
Also es ist wirklich nicht nötig, hier weiter zu fragen, solange du nicht andere Werte von deiner Lehrein kriegat. Bist du ganz sicher , dass du die

2 d_{1}

und

d_{2}

richtig hast
Eine weitere Zeichnung hilft da auch nicht,

(3,3,2) (2,3,3) (3,2,3)

haben alle denselben Abstand zur Erde! man muss nur das Bild für

((3,3,2)

drehen um das für

(2,3,3)

zu haben.
Geogebra gibt es umsonst, du kannst also auch selbst damit zeichnen.
Gruß ledum

SchlechtinMathex aktiv_icon

18:38 Uhr, 31.10.2015

Ja habe schon eingesehen, dass das nicht klappt und meine Lehrerin informiert. Ich warte nur noch auf eine Antwort von ihr. Vielen Dank für alles bis jetzt.

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