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Gemeinsamen Punkt bestimmen - Exponentialfunktion

Schüler Realschule, 9. Klassenstufe

Tags: e-Funktion, Exponentialfunktion, gemeinsamer Punkt, Kurve

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nicck

nicck aktiv_icon

09:27 Uhr, 24.04.2016

Antworten

Ich habe hier eine Aufgabe zu den Exponentialfunktionen die ich nicht verstehe. Und zwar sind gegeben:

K

ist die Kurve von

f

mit

f (x) = (x - 1) e^{x - 1}

und

G

ist die Kurve von

g (x) = x - 1

.
Zeigen Sie:

K

und

G

haben einen gemeinsamen Punkt. Interpretieren Sie ihr Ergebnis.

Ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand genau schildern könnte wie man da vorgeht.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

Respon

09:50 Uhr, 24.04.2016

Antworten

"Schneide" die beiden Kurven.

(x - 1) \cdot e^{x - 1} = x - 1

\Rightarrow

genau ein Schnittpunkt ( Berührpunkt )
Und da

g

eine Gerade ist

\Rightarrow

Tangente

Antwort

Femat

Femat aktiv_icon

09:51 Uhr, 24.04.2016

Antworten

f (x) = (x - 1) \cdot e^{x - 1} = g (x) = x - 1

(x - 1) \cdot e^{x - 1} = x - 1

(x - 1) \cdot 1 = x - 1

e^{x - 1} = 1

Jede Zahl hoch Null ist eins

also

e^{0} = 1

x - 1 = 0

x = 1

Screenshot (145)

nicck

nicck aktiv_icon

10:08 Uhr, 24.04.2016

Antworten

Vielen Dank erstmal. Vielleicht bin ich zu blöd, aber wie bist du von

(x - 1) \cdot e^{x - 1} = x - 1

auf

(x - 1) \cdot 1 = x - 1

gekommen? Wurde da für

x = 1

eingesetzt oder was?

Antwort

Respon

10:24 Uhr, 24.04.2016

Antworten

(x - 1) \cdot e^{x - 1} = x - 1

| - (x - 1)

(x - 1) \cdot e^{x - 1} - (x - 1) = 0

(x - 1)

auf der linken Seite ausklammern

(x - 1) \cdot [e^{x - 1} - 1] = 0

\Rightarrow (x - 1) = 0

ODER

e^{x - 1} - 1 = 0

x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1

e^{x - 1} - 1 = 0

e^{x - 1} = 1

e^{x - 1} = e^{0} \Rightarrow x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1

Tangente: Zeige, dass

f' (1) = g' (1) = 1

nicck

nicck aktiv_icon

10:49 Uhr, 24.04.2016

Antworten

Okay, also beim ausklammern, wie kommt man von

(x - 1) \cdot e^{x - 1} - (x - 1)

auf

(x - 1) \cdot [e^{x - 1} - 1] = 0

Ich verstehe nicht wie man von

- (x - 1)

auf 1 kommt.

Antwort

Atlantik

Atlantik aktiv_icon

10:52 Uhr, 24.04.2016

Antworten

Alternativer Weg:

f (x) = (x - 1) \cdot e^{x - 1}

g (x) = x - 1

Substitution:

x - 1 = u

f (u) = u \cdot e^{u}

g (u) = u

u \cdot e^{u} = u | - u

u \cdot e^{u} - u = 0

u \cdot (e^{u} - 1) = 0

1 .) u = 0

e^{u} - 1 = 0 | + 1

e^{u} = 1

u \cdot ln e = ln 1

u \cdot 1 = 0

2) u = 0

...

.

x - 1 = 0

x = 1

mfG

Atlantik

Z e i c h n u n g :

Unbenannt

Antwort

Respon

10:56 Uhr, 24.04.2016

Antworten

Ausklammern bedeutet "dividieren".

(x - 1) \cdot e^{x - 1} - (x - 1) = 0

(x - 1) \cdot [\frac{x - 1}{x - 1} \cdot e^{x - 1} - \frac{x - 1}{x - 1}] = 0

(x - 1) \cdot [1 \cdot e^{x - 1} - 1] = 0

(x - 1) \cdot [e^{x - 1} - 1] = 0

usw.

Und wenn dir gerade nicht "einfällt", dass

1 = e^{0},

kannst du auch ganz trivial logarithmieren

e^{x - 1} = 1

(x - 1) \cdot ln (e) = ln (1)

(x - 1) \cdot 1 = 0

usw.

Frage beantwortet

nicck

nicck aktiv_icon

11:07 Uhr, 24.04.2016

Antworten

Alles klar, jetzt hab ich es verstanden. Vielen Dank nochmal an alle.

nicck

nicck aktiv_icon

11:07 Uhr, 24.04.2016

Antworten

Da ich schon hier bin, vielleicht könnt ihr mir noch bei dieser Aufgabe helfen:

Schaubild von f(x)=a+e^bx verläuft durch

S (0 | - e)

und

B (4 | - 1)

. Bestimmen Sie a und

b

.

Antwort

Respon

11:16 Uhr, 24.04.2016

Antworten

Die Koordinaten der gegebenen Punkte müssen die Funktionsgleichung "erfüllen".
Also Koordinaten einsetzen

\Rightarrow

zwei Gleichungen in a und

b

.

nicck

nicck aktiv_icon

11:21 Uhr, 24.04.2016

Antworten

Aber ich habe zwei Punkte gegeben,

S

und B.

Antwort

Respon

11:25 Uhr, 24.04.2016

Antworten

Zwei mal einsetzen

\Rightarrow

zwei Gleichungen

nicck

nicck aktiv_icon

11:34 Uhr, 24.04.2016

Antworten

Also an Beispiel von

B : f (x) = a + e^{b + x}

- 1 = a + e^{b \cdot 4} | - e^{b \cdot 4}

- 1 - e^{b \cdot 4} = a

Aber eigentlich sollte als Lösung

a = 1 - e

rauskommen.

Antwort

Respon

11:38 Uhr, 24.04.2016

Antworten

Du hast ZWEI Unbekannte ( also a und

b)

.
Führe das Gleiche mit dem anderen Punkt durch.

nicck

nicck aktiv_icon

11:53 Uhr, 24.04.2016

Antworten

- e = a + e^{b \cdot 0}

Soll ich die jetzt nach

b

oder a auflösen?

- e = a + e^{b \cdot 0} | - a

- e - a = e^{b \cdot 0} | ln

...

.

Da komme ich auch nicht weiter.

Antwort

Respon

11:56 Uhr, 24.04.2016

Antworten

b \cdot 0 = 0 \Rightarrow e^{b \cdot 0} = e^{0} = 1

Antwort

Atlantik

Atlantik aktiv_icon

20:51 Uhr, 24.04.2016

Antworten

Im Zusammenhang:

f (x) = a + e^{b x}

S (0 | - e)

f (0) = a + e^{0}

a + e^{0} = - e

a = - e - 1

B (4 | - 1)

f (4) = a + e^{4 b}

- e - 1 + e^{4 b} = - 1

e^{4} b = e

4 b \cdot ln e = ln e

4 b = 1

b = \frac{1}{4}

f (x) = - e - 1 + e^{\frac{1}{4} x}

mfG

Atlantik

Z e i c h n u n g :

Unbenannt

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