Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Grenzwert der Ableitung der Wurzelfunktion

Grenzwert der Ableitung der Wurzelfunktion

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert, unendlich, Wurzel

Henning7 aktiv_icon

10:38 Uhr, 13.05.2023

Die Funktion

f (x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}

wächst unbegrenzt für

x

gegen unendlich.
Wie kann die Ableileitung

f' (x) = \frac{1}{2} \cdot x^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{u} (x)}

dann gegen 0 gehen?
Allgemeiner: Müsste

lim (x \to \infty) f (x)

nicht begrenzt sein, wenn

f' (x)

gegen 0 geht?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Wurzelfunktionen (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

calc007

11:04 Uhr, 13.05.2023

Wie kommst du darauf?
Dass die (Stamm-) Funktion

f (x)

unbegrenzt ist, scheinst du verstanden zu haben.
Dass die Ableitung

f' (x)

verschwindet, scheinst du verstanden zu haben.
Wie du auf die Fragestellung und These kommst, dass das eine im Widerspruch zum anderen stünde, ist nicht verständlich.

Es gibt bestimmt unzählige Beispiele mit dem genannten Verhalten,

z . B

y = x^{0,6}

y = ln (x)

Henning7 aktiv_icon

11:14 Uhr, 13.05.2023

Danke für den Hinweis. Mir war klar, dass

\sqrt{x}

nur ein Beispiel für viele Funktionen mit diesem Verhalten ist. Aber nochmal: Wie passt es zusammen, dass eine Funktion unbegrenzt wächst, obwohl die Ableitung - also die Wachstumsrate - gegen Null geht?

calc007

11:16 Uhr, 13.05.2023

Wie passt es zusammen, dass meines Nachbarn Auto besser gewaschen ist, als meines, obwohl es rot ist?

Wieso siehst du einen Widerspruch vom einen zum andern?

calc007

11:20 Uhr, 13.05.2023

Oder ein anderes Beispiel:

Wieso ist

\sum_{x \to \infty} \frac{1}{x}

unbegrenzt, obwohl doch die Summanden, also die Zuwächse ständig kleiner und kleiner werden?
Die Zuwächse werden kleiner und kleiner,
und doch reichen sie aus, um unbegrenzt wachsen zu lassen.
Es sind ja unendlich viele.

So etwa könnte auch die Antwort auf deine Frage und dein Wurzelbeispiel lauten.

Mathe45

11:22 Uhr, 13.05.2023

tilt

Henning7 aktiv_icon

12:20 Uhr, 13.05.2023

Das Kriterium

lim (x \to \infty) f' (x) = 0

reicht also nicht aus, damit es einen endlichen Wert für

lim (x \to \infty) f (x)

gibt. Welche weiteren Kriterien müsssn erfüllt sein, damit es einen begrenzten Endwert von

f (x)

gibt?

calc007

12:22 Uhr, 13.05.2023

siehe

z . B . :

de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzkriterium

pivot aktiv_icon

13:54 Uhr, 13.05.2023

>>Die Zuwächse werden kleiner und kleiner,
und doch reichen sie aus, um unbegrenzt wachsen zu lassen.
Es sind ja unendlich viele.<<

Gilt das auch für folgende Funktion

f (x) = \sum_{i = 0}^{x} 0, 5^{i}

calc007

13:58 Uhr, 13.05.2023

@Henning
Lass dich nicht verwirren.
Pivot nennt eine neue Aufgabe.

Und Pivot hätte ich die Beantwortung seiner Frage ohne ein Matheforum zugetraut.

pivot aktiv_icon

14:01 Uhr, 13.05.2023

@calc007

Nein. Mein Beitrag bezieht sich auf deine Aussage.

calc007

14:08 Uhr, 13.05.2023

Wer lesen kann, der kann lesen, dass ich in meinem Beitrag von

11 : 20 h

zum Beispiel

\sum_{x \to \infty} \frac{1}{x}

die Aussage getätigt habe:
"Die Zuwächse werden kleiner und kleiner,
und doch reichen sie aus, um unbegrenzt wachsen zu lassen.
Es sind ja unendlich viele."

HAL9000

14:19 Uhr, 13.05.2023

Tatsächlich haben die beiden Aussagen

(a) Es existiert

lim_{x \to \infty} f (x)

.

(b) Es ist

lim_{x \to \infty} f ´ (x) = 0

.

wenig miteinander zu tun, selbst wenn man Differenzierbarkeit von

f

voraussetzt:

Aus (a) folgt nicht (b), und aus (b) auch nicht (a) - für beides gibt es Gegenbeispiele (jeweils auf

ℝ_{> 0}

definiert):

f_{1} (x) = \frac{\sin (x^{2})}{x}

f_{2} (x) = \sqrt{x}

(also wie bei dir oben)

pivot aktiv_icon

14:20 Uhr, 13.05.2023

@calc007
Das ist aber keine gute Begründung warum eine Funktion konvergiert oder divergiert.
Die Funktion des OP ist ja auch eine andere.

HAL9000

14:28 Uhr, 13.05.2023

Ich hätte es etwas anders formulieren sollen: Aus (a) folgt nicht (b), und aus (b) auch nicht (c), wobei ich damit

(c)

f (x)

ist beschränkt

meine, das macht es noch etwas deutlicher. Soll heißen: Man sollte sich hüten, vorschnell heuristisch motivierte Verbindungen zwischen diesen Eigenschaften der Funktion im Unendlichen herzustellen.

calc007

14:29 Uhr, 13.05.2023

@Pivot
Es ist ein anschauliches Schüler-entgegenkommendes Gegenbeispiel, ähnlich wie es eben HAL praktiziert hat.

pivot aktiv_icon

14:32 Uhr, 13.05.2023

@calc007
Schüler?
Jetzt wird es mir zu absurd. Eigentlich schon vorher.

Henning7 aktiv_icon

17:01 Uhr, 13.05.2023

Vielen Dank, für Eure Bemühungen. Es hilft wohl nur, die Grenzwerte Auszurechnen und der Intuition zu misstrauen.

1571104

1571039

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?