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Grenzwert der e-Funktion

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Grenzwerte

Komplexe Zahlen

Tags: Grenzwert, Komplexe Zahlen

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21:05 Uhr, 11.11.2018

Hallo kann mir bitte jemand sagen was der

lim_{v \to \infty} (- e^{- (a - j \cdot ω) \cdot b})

ist? Dabei ist

j

die imaginäre Einheit.
Danke..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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anonymous

21:24 Uhr, 11.11.2018

Hallo
Nähmen wir dich wörtlich, dann

lim_{v \to \infty} f (a, b, ω) = f (a, b, ω)

denn

f (a, b, ω)

erscheint als Konstante über der Variablen

v

.

Also, vermutlich meinst du was anderes.
Was meinst du tatsächlich?

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21:48 Uhr, 11.11.2018

Also ich bin gerade dabei eine Fourier-Transformation durchzuführen und muss dabei ein uneigentliches Integral lösen:
"siehe Foto"

Dabei wollte ich wissen wieso der

lim_{b \to \infty} (\frac{e^{- (a + j \cdot ω) \cdot b}}{- a (a + j \cdot ω)}) = \frac{1}{a + j \cdot ω}

ist.

anonymous

22:04 Uhr, 11.11.2018

Hallo
Was du im Thread schreibst ist ja auch was anderes, als das was du im Scan-Bild anbietest.

Vielleicht mal einfach mit ein paar leichter verständlichen Zwischenschritten:

lim_{b \to \infty} f (a, ω, t) |_{0}^{b} = lim [f (t = b) - f (t = 0)]

= lim \frac{e^{- (a + j \cdot ω) \cdot b}}{- (a + j \cdot ω)} - \frac{e^{- (a + j \cdot ω) \cdot 0}}{- (a + j \cdot ω)}

= lim \frac{e^{- (a + j \cdot ω) \cdot b}}{- (a + j \cdot ω)} - \frac{e^{0}}{- (a + j \cdot ω)}

= lim \frac{e^{- (a + j \cdot ω) \cdot b}}{- (a + j \cdot ω)} - \frac{1}{- (a + j \cdot ω)}

= lim \frac{e^{- (a + j \cdot ω) \cdot b}}{- (a + j \cdot ω)} + \frac{1}{a + j \cdot ω}

So und jetzt kannst du dich um den Grenzwert kümmern.
Der ist doch prinzipiell

e^{- \infty}

Also:

= 0 + \frac{1}{a + j \cdot ω}

= \frac{1}{a + j \cdot ω}

Du siehst, nicht der Teil, den du uns verraten hast, ist das Endergebnis, sondern der andere Summand.
:-)

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22:29 Uhr, 11.11.2018

Danke für die ausführliche Antwort das hat mir weiter geholfen :-)

Noch einige Fragen:
Die Grenzwerte von den e-Funktionen im reellen Bereich sind mir bekannt.
Die die Grenzwerte der e-Funktionen im Komplexen anders als im reellen?

Z . b

lim_{x \to \infty} (e^{j \cdot x}) =

lim_{x \to - \infty} (e^{j \cdot x}) =

anonymous

22:47 Uhr, 11.11.2018

lim_{x \to \infty} e^{j \cdot x}

Ich stelle mir einen komplexen Zeiger vor, mit dem (konstanten) Betrag 1 und dem Winkel

x

.
Das fängt bei

x = 0

rad an, da zeigt der Zeiger nach rechts:

e^{j \cdot 0} = 1

Dann wächst der Winkel auf

x = \frac{π}{2},

da zeigt der Zeiger nach oben:

e^{j \cdot \frac{π}{2}} = j

Dann bei

x = π,

da zeigt der Zeiger nach links:

e^{j \cdot π} = - 1

Dann bei

x = 3 \cdot \frac{π}{2},

da zeigt der Zeiger nach unten:

e^{j \cdot 3 \cdot \frac{π}{2}} = - j

Dann bei

x = 4 \cdot \frac{π}{2},

da zeigt der Zeiger wider nach rechts:

e^{j \cdot 4 \cdot \frac{π}{2}} = 1

[

korrigiert]

Und so weiter,

u . s . w .,

und so weiter,

u . s . w

.
Der Zeiger, der kreist und kreist und kreist und kreist,

...

.
und das regelmäßig weiter und weiter,
und zeigt keinerlei Tendenz irgendwie zu konvergieren.

Kurz und gut: Dein Ausdruck hat keinen Grenzwert.

Ebenso dein zweites Beispiel

lim_{x \to - \infty} e^{j \cdot x}

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19:42 Uhr, 12.11.2018

Das mit dem rotierenden Zeiger ist eine gute veranschaulichung danke.

Zurück zu der Aufgabe von oben:

Wie genau wurde dieser Grenzwert ausgerechnet:

lim_{b \to \infty} (\frac{e^{- (a + j \cdot ω) \cdot b}}{- (a + j \cdot ω)} + \frac{1}{a + j \cdot ω})

Eben wurde Gesagt das eine Komplexe Zahl der Form:

e^{j \cdot x}

keinen Grenzwert bestitzt, weil der Zeiger einfach nur durchgehend rotiert.

Wieso hat aber

e^{- (a + j \cdot b)}

einen Grenzwert? Ist das nicht auch einfach nur ein Zeiger welcher durchgehend rotiert und somit divergent ist?

anonymous

22:33 Uhr, 12.11.2018

Du hast uns nicht alle Zusammenhänge und Herkünfte erklärt.
Ich gehe dringend davon aus, dass gilt:

a > 0

Wieder in (hoffentlich) schön klein - klein verständlichen Zwischenschritten:

lim_{b \to \infty} \frac{e^{- (a + j \cdot ω) \cdot b}}{- (a + j \cdot ω)} = - \frac{1}{a + j \cdot ω} \cdot lim e^{- (a + j \cdot ω) \cdot b}

= - \frac{1}{a + j \cdot ω} \cdot lim e^{- a \cdot b + j \cdot ω \cdot b}

= - \frac{1}{a + j \cdot ω} \cdot lim [e^{- a \cdot b} \cdot e^{j \cdot ω \cdot b}]

= - \frac{1}{a + j \cdot ω} \cdot lim_{b \to \infty} [e^{- a \cdot b}] \cdot lim [e^{j \cdot ω \cdot b}]

= - \frac{1}{a + j \cdot ω} \cdot [0] \cdot lim [e^{j \cdot ω \cdot b}]

= 0

Wie du siehst, das ist tatsächlich "auch einfach nur ein Zeiger, (wessen Winkel) durchgehend rotiert".
Aber - im Gegensatz zu deinem Beispiel von

18 - 11 - 11, 22 : 29 h

geht der Betrag gegen Null.
Und irgendwas mal Null ist nunmal Null. So einfach...

Du siehst jetzt auch, ich musste annehmen, und der Autor deines Scans scheint davon auszugehen, dass

a > 0

Denn wenn dem nicht so wäre, und wenn a negativ wäre, dann ginge doch

lim_{b \to \infty} e^{- a \cdot b} \to e^{+ \infty} \to \infty

und das wäre hoffnungslos divergent.

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11:54 Uhr, 13.11.2018

Danke für die Hilfe, nun ist mir alles Verständlich! :-)

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