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Grenzwert der e-Funktion bestimmen

Schüler Gesamtschule, 12. Klassenstufe

Tags: e-Funktion, Eulerische Zahl, Grenzwert, lim

Raara aktiv_icon

17:35 Uhr, 16.12.2012

Hallo liebe Leute!
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Und zwar habe ich die e-Funktion und möchte den Grenzwert mit dem Limes bestimmen.
Auch habe auch schon vorgearbeitet und stecke leider im letzten Schritt fest.
Vielleicht könnt ihr mir helfen. :-D)

f (x) := e^{x}

f' (x) = lim \frac{e^{x} + h - e^{x}}{h} = lim \frac{e^{x} (e^{h} - 1)}{h}

h \to 0

= e^{x} \cdot lim \frac{e^{h} - 1}{h}

h \to 0

So jetzt wurde ich eigentlich für

h 0

einsetzen, aber das kann dann nicht richtig sein, weil man in einem Bruch nicht durch Null teilen darf. Habe auch schon daran gedacht mit

ln

vorzugehen, aber habe die Idee schnell verworfen.
Hoffe das kann mir jemand helfen und ich bedanke mich schon im Voraus.

*Edit:-D)as

h

in der zweiten Zeile soll natürlich im Exponenten stehen!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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e-Funktion

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Nova12 aktiv_icon

17:40 Uhr, 16.12.2012

Es strebt ja nur gegen 0 und ist nicht wirklich 0.

Setzt also eine sehr kleine Zahl nahe 0 ein. Beispielsweise

0,000001

oder so. Dann solltzest du wissen wohin es geht.

Shipwater aktiv_icon

17:40 Uhr, 16.12.2012

Setze

k = e^{h} - 1

Raara aktiv_icon

20:30 Uhr, 16.12.2012

Also wenn ich für

h = 0,000001

eingebe, dann stebt die Funktion gegen Eins.
Dann wäre es

e^{x} \cdot lim \frac{e^{h} - 1}{h}

e^{x} \cdot lim \frac{e^{0,000001} - 1}{h}

Und dann wäre es ja

0,

aber das kann nicht richtig sein.

Nova12 aktiv_icon

20:38 Uhr, 16.12.2012

Richtig, es wäre 1. Nicht 0.

Was bei der allgemeinen e-Funktion auch stimmt. Sie schneidet die Y-Achse für

x = 0

bei 1. Das kannst du auch hier nachschaun.

http//funktion.onlinemathe.de/

Die Ableitung von

e^{x}

ist wieder

e^{x}

. Das ist ja das besondere an der Funktion.

lim f (x) = lim e^{x} = 1

x \to 0

lim e^{x} = \infty

x \to \infty

lim e^{x} = 0

x \to - \infty

Was sollen bei dir eigentlich diesen ganzen

h s

?
Die benutzt man am anfang als Einführung ins Ableiten oder so, ne?

Raara aktiv_icon

20:47 Uhr, 16.12.2012

Ach so okay!
So langsam habe ich es verstanden :-D) Dankeschön schon mal.
Ich versuche es mal mit einer anderen Funktion.
Vielen Dank für die Hilfe!

Shipwater aktiv_icon

22:57 Uhr, 16.12.2012

Aber Achtung einfach eine kleine Zahl einsetzen ist kein richtiger Nachweis. Es hilft um eine Idee zu bekommen, aber wenn man richtig Mathematik betreiben will, muss man da schon genauer sein.

Atlantik aktiv_icon

11:43 Uhr, 17.12.2012

Hier ist ein genauer Lösungsweg:

http//mathforum.org/library/drmath/view/60705.html

mfG

Atlantik

anonymous

12:16 Uhr, 17.12.2012

Die Grenzwertbildung gelingt, indem du die Reihenentwicklung der e-Funktion nutzt.
Tip:

e^{x} = 1 + \frac{x}{1!} +

x²/2!

+

x³/3!

+ . .

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