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Grenzwert der n-ten Wurzel aus n!

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert, n-Fakultät, n-te Wurzel, Stirlingsche Formel

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19:34 Uhr, 23.01.2008

Hallo zusammen, meine Frage steht eigentlich schon im Titel des Threats:

Ich will folgenden Grenzwert beweisen:

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!} = \infty$

Das ist mir auch mit Hilfe dieser Minorante gelungen, die aus der Stirlingschen Formel folgt:

$\sqrt{2 π n} \cdot {(\frac{n}{e})}^{n} \leq n!$

Allerdings frage ich mich ob es da nicht einen anderen, intuitiveren, rechnerischen Weg gibt ?

Ich bin nicht wirklich glücklich damit einfach eine irgendwo gefundene Formel zu benützen :)

Vielen Dank für eure Hilfe

Grüsse

Mischa

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martin--g

19:52 Uhr, 23.01.2008

Servus,

aus $n \geq 1$ folgt $n^{\frac{1}{n}} \geq 1$ also $n^{\frac{1}{n}} = 1 + b_{n}$ mit $b_{n} \geq 0$ .

Binomischer Lehrsatz: $n = {(1 + b_{n})}^{n} = 1 + n * b_{n} + \frac{n * (n - 1)}{2!} * b_{n}^{2} + \frac{n * (n - 1) * (n - 2)}{3!} * b_{n}^{3} + ... \geq \frac{n * (n - 1)}{2!} * b_{n}^{2}$

somit steht:

$n \geq \frac{n * (n - 1)}{2} * b_{n}^{2}$

$1 \geq \frac{n - 1}{2} * b_{n}^{2}$

$\frac{2}{n - 1} \geq b_{n}^{2} \geq 0$

mit $n \to \infty$ geht der linke Teil der Ungleichung gegen Null. Somit ist $b_{n}^{2}$ nach oben und untern mit Null beschränkt und muss demnach auch Null sein.

Wenn diese Erkenntnis nun in die Formel $n^{\frac{1}{n}} = 1 + b_{n}$ eingesetzt wird, erhälst du $n^{\frac{1}{n}} = 1$ , was zu beweisen war.

mfg

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20:07 Uhr, 23.01.2008

Hm das was du gerade bewiesen hast ist

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$ oder täusche ich mich da ?

Und das geht einfacher: ;)

$\sqrt[n]{n} = n^{1 / n} = e^{\frac{1}{n} \log (n)} \lim_{n \to \infty} \frac{\log (n)}{n} bernoulli l'hopital: \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} = 0 e^{0} = 1$

qed.

martin--g

20:09 Uhr, 23.01.2008

Servus,

da hast du recht, geht viel einfacher!!

Hab deine Frage falsch gelesen. Sorry.

mfg

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20:10 Uhr, 23.01.2008

kein Problem, danke trotzdem :)

martin--g

20:31 Uhr, 23.01.2008

Servus,

so müssts gehn:

${(n!)}^{\frac{1}{n}} = 1^{\frac{1}{n}} * 2^{\frac{1}{n}} * 3^{\frac{1}{n}} * 4^{\frac{1}{n}} * 5^{\frac{1}{n}} * ... * {(n - 1)}^{\frac{1}{n}} * n^{\frac{1}{n}}$

Jeder Term auf der rechten Seite, mit Ausnahme von $1^{\frac{1}{n}}$ , ist ja um sehr sehr wenig größer als 1, aber größer!

Jetzt haben wir eine Multiplikation mit unendlich vielen Faktoren die alle $> 1$ sind.

Und somit wären wir dann bei $\infty$ .

Ob das jetzt mathematisch korrekt ist, bin ich mir nicht so ganz sicher...

mfg

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20:44 Uhr, 23.01.2008

hm ich weiss nicht so recht

für alle a > 1 gilt ja

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1$

denn

$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} = a^{0} (für n \to \infty) = 1$

Dann hätten wir eine Multiplikation unendlich vieler Faktoren die aber alle genau 1 sind. Also wäre das Ergebnis wieder 1 und das ist es ja nicht.

martin--g

20:56 Uhr, 23.01.2008

Servus,

somit haben wir aber $\infty * 1$ und dass ist nicht definiert.

mfg

martin--g

21:27 Uhr, 23.01.2008

Servus,

verdammt!! Jetzt hab ich mich so gefreut, dass ich einen Beweis gefunden habe, dabei habe ich nur bewiesen das n! gleich unendlich ist. Verdammt!

Aber dass ich nicht alles umsonst getippt habe, werd ichs trotzdem online stellen:

Anfang: 3!>1+2+3 w.A.

Annahme: $n! > {\sum_{}^{} n}_{n = 1}^{\infty}$

Behauptung: $(n + 1)! > {\sum_{}^{} (n + 1)}_{n = 1}^{\infty}$

Schritt: $(n + 1) * n! > {\sum_{}^{} (n + 1)}_{n = 1}^{\infty}$

$(n + 1) * {\sum_{}^{} n}_{n = 1}^{\infty} > {\sum_{}^{} (n + 1)}_{n = 1}^{\infty}$

$n + 1 > \frac{{\sum_{}^{} (n + 1)}_{n = 1}^{\infty}}{{\sum_{}^{} n}_{n = 1}^{\infty}}$

$n + 1 > \frac{2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + (n - 1) + n + (n + 1)}{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + (n - 1) + n}$

$n + 1 > \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + (n - 1) + n + n}{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + (n - 1) + n}$

$n + 1 > \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + (n - 1) + n}{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + (n - 1) + n} + \frac{n}{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + (n - 1) + n}$

$n + 1 > 1 + \frac{n}{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + (n - 1) + n}$

$n > \frac{n}{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + (n - 1) + n}$

$1 > \frac{1}{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + (n - 1) + n}$ w.A.

Somit ist bewiesen das $n! > {\sum_{}^{} n}_{n = 1}^{\infty}$ und da gilt ${\sum_{}^{} n}_{n = 1}^{\infty} = \infty$ ist auch gezeigt das $n! = \infty$

mfg

martin--g

21:35 Uhr, 23.01.2008

Servus,

um meinen vorletzten Beitrag mathematisch korrekt anzuschreiben:

$\lim_{n \to \infty} (\prod_{x = 1}^{\infty} x^{\frac{1}{n}})$ ist nicht definiert

mfg

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21:45 Uhr, 23.01.2008

schöner Induktionsbeweis :D

du willst darauf hinaus, dass $1^{\infty}$ nicht definiert ist, das Problem dabei ist aber nur dass man mit $\infty$ halt nicht rechnen kann.

Wenn du schreibst: $\lim_{n \to \infty} 1^{n} \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} \prod_{m = 1}^{n} 1$

kriegst du 1 raus, was auch Sinn macht, da die 1 das, bezüglich der Multiplikation neutrale Element ist.

martin--g

21:49 Uhr, 23.01.2008

Servus,

da hast du schon recht, das ist aber auch nicht unser Problem.

Unser Problem schaut so aus wie ich es beschrieben habe.

mfg

martin--g

21:52 Uhr, 23.01.2008

Servus,

aber man kann doch sagen das der Exponent von $x^{\frac{1}{n}}$ nie genau Null ist, sondern nur annähernd Null. Somit haben wir nie $x^{0}$ und somit nie 1!?

mfg

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23:21 Uhr, 23.01.2008

das leuchtet zwar rein intuitiv ein, aber dann machen die Grenzwertsätze

http//de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_%28Funktion%29

Probleme, wenn gelten soll:

sei:

$\lim_{n \to p} f (n) = a und \lim_{n \to p} g (n) = b$

dann gilt:

$\lim_{n \to p} (f (x) \cdot g (x)) = a \cdot b$

also sollte man die Grenzwerte vorher einzeln ausrechnen dürfen um sie dann zu multiplitzieren

martin--g

15:09 Uhr, 24.01.2008

Servus,

ich nehme an die Definition für die Eulersche Zahl: ${\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})}^{n}$ ist dir bekannt. Hier hast du, ganz grob gesehen, ungefähr das selbe wie bei unserem Problem.

Denn $\frac{1}{n}$ ist zwar nahezu Null, aber da es "n" im Exponenten stehen hat ist es auch unendlich oft vorhanden, wenn du die binomische Formel anwendest.

Somit kann $\frac{1}{n}$ , obwohl es ansich Null ist, nicht als Null angenommen werden.

mfg

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16:09 Uhr, 24.01.2008

kenn ich, ja, diesen Grenzwert kann man aber nicht auseinander nehmen wegen der Addition in der Klammer, bei der potenzierten Multiplikation die bei meinem Problem entsteht aber schon :)

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