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Grenzwert des Differenzenquotienten

Universität / Fachhochschule

Tags: Differentialquotient, Differenzierbarkeit, Grenzwert, Parameter

Mino1337 aktiv_icon

05:28 Uhr, 03.12.2013

Hallo,

Ich verzweifel gerade etwas an folgender Aufgabe:

Bestimmen sie $a, b \in R$ so, das die Funktion h:R-->R mit

$h (x) = {x² + 1 / 4 x f a l l s x \leq \frac{1}{2} {a x + b f a l l s x > \frac{1}{2}$

differenzierbar ist. Benutzen Sie dazu die Definition der Ableitung über den Grenzwert des Differenzenquotienten.

Also wie ich a und b bestimmen kann und die Funktion danach auch Stetig ist weiss ich berreits. Einfach x = $\frac{1}{2}$ setzen und a,b dann auslösen.

Ich soll laut aufgabenstellung diese Formel für den beweis nutzen das das ganze dann diffbar ist $h' (x) = \lim_{x \to x_{0}} \frac{h (x) - h (x_{0})}{x - x_{0}}$ für x0 setze ich $\frac{1}{2}$ ein.

Aber egal wieviel ich rumrechne ich komme auf kein schlüssiges ergebniss.

Mir ist auch nicht klar was ich denn dann mit den Ergebnissen tun sollte.

Ich hätte ja dann am Schluss eine gleichung mit a,b aus der Stetigkeitsüberlegung und eine (wenn es soweit kommt) aus der überlegung mit der diffbarkeit.

Und dann ?

Ich bräuchte hierbei dringend Hilfe.

Vielen Dank.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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michaL aktiv_icon

06:36 Uhr, 03.12.2013

Hallo,

> Also wie ich a und b bestimmen kann und die Funktion danach auch Stetig ist weiss ich berreits. Einfach x = 1/2 setzen und
>

a

b

dann auslösen.

Nun, das wird nicht so einfach gehen. Zwei Variablen durch nur eine Gleichung zu bestimmen...

Stell doch die beiden Gleichungen mit

a

und

b

mal auf und poste sie hier.
Manchmal klären sich die Fragen ja von allein.

Mfg Michael

Respon

09:47 Uhr, 03.12.2013

Vielleicht hilft dieser Hinweis: Für

x = \frac{1}{2}

müssen sowohl die Funktionswerte als auch die Steigungen übereinstimmen.

Atlantik aktiv_icon

10:48 Uhr, 03.12.2013

h

(x) = lim_{x \to x_{0}} \frac{h (x) - h (x_{0})}{x - x_{0}}

h

(x) = lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x^{2} + \frac{1}{4} x - ({(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2})}{x - \frac{1}{2}} = lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x^{2} + \frac{1}{4} x - (\frac{1}{4} + \frac{1}{8})}{x - \frac{1}{2}} = lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x^{2} + \frac{1}{4} x - \frac{3}{8}}{x - \frac{1}{2}}

Polynomdivision:

(x^{2} + \frac{1}{4} x - \frac{3}{8}) : (x - \frac{1}{2}) = x + \frac{3}{4}

lim_{x \to \frac{1}{2}} (x + \frac{3}{4}) = \frac{5}{4}

->Punkt-Steigungsformel für Gerade

mfG

Atlantik

Respon

12:21 Uhr, 03.12.2013

Laut Aufgabenstellung soll sowohl Stetigkeit und Differenzierbarkeit bewiesen werden.
Das geschieht, indem man jeweils den links- und rechtsseitigen Funktionswert ( bzw. Differentialquotienten ) bestimmt.

Für

x < \frac{1}{2}

ist die "Gesamtfunktion" sicher stetig, ebenfalls für

x > \frac{1}{2}

Bleibt noch

x = \frac{1}{2}

. Der linksseitige Funktionswert ist problemlos, da

x = \frac{1}{2}

zum Definitionsbereich gehört. Man setzt einfach

\frac{1}{2}

in die Funktionsgleichung ein.
Der rechtsseitige Funktionswert ist aber vorerst nicht definiert, da

x = \frac{1}{2}

NICHT zum Definitionsbereich der zweiten Funktion gehört. Hier muss man also eine
Grenzwertbetrachtung durchführen.

Analog verhält es sich mit der Differenzierbarkeit. Während der linksseitige Differentialquotient wegen des Definitionsbereiches ebenfalls eindeutig definiert ist, muss rechtsseitig wieder eine Grenzwertbetrachtung durchgeführt werden.

Erst wenn gezeigt werden kann, dass jeweils sowohl die links- als auch die rechtsseitigen Funktionswerte ( bzw. Differentialquotienten ) übereinstimmen, ist obige Aufgabenstellung korrekt abgehandelt.

Mino1337 aktiv_icon

17:23 Uhr, 03.12.2013

Hallo,

Ich habe nun folgendes:

für den Punkt: $\frac{a}{2} + b = \frac{3}{8}$

und für die Steigung: $\frac{a x - \frac{a}{2} + b}{x - \frac{1}{2}} = \frac{5}{4}$

Was ich nun noch tun müsste ist ein Gleichungssystem mit diesen beiden gleichungen nach a,b Lösen. Aber die Bruchgleichung kann ich selbst mit Polynomdivision nicht weiter verändern, ich kann nichteinmal x=1/2 setzen da der Nenner dann null wird.

Und mit der Punktsteigungsformel $y = m x + b$ kommt $y = \frac{5}{4} * \frac{1}{2} + \frac{3}{8} = 1$ raus.

Aber das nutzt mir doch nix das ich weiss das y=1 ist.

Ich bitte nochmal um Unterstützung.

Ich weiss ja nun schon einmal das wenn ich ein a,b finde welches beide gleichungen erfüllt ich die diffbarkeit und somit auch stetigkeit bewiesen habe.

Vielen Dank

Respon

18:18 Uhr, 03.12.2013

h (x) = x^{2} + \frac{x}{4} \Rightarrow h' (x) = 2 \cdot x + \frac{1}{4}

g (x) = a \cdot x + b \Rightarrow g' (x) = a

Die Anstiege für

x = \frac{1}{2}

sollen gleich sein

\Rightarrow

h' (\frac{1}{2}) = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4}

g' (\frac{1}{2}) = a

\Rightarrow 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = a \Rightarrow a = \frac{5}{4}

Die Funktionswerte für

x = \frac{1}{2}

müssen ebenfalls gleich sein.

h (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}

g (\frac{1}{2}) = a \cdot \frac{1}{2} + b = \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{2} + b

\Rightarrow \frac{3}{8} = \frac{5}{8} + b \Rightarrow b = - \frac{1}{4}

Also

g (x) = \frac{5}{4} \cdot a - \frac{1}{4}

Aus der formalen Bestimmung von a und

b

folgt nicht automatisch die Stetigkeit und Differenzierbarkeit. Für einen exakten Beweise muss die Übereinstimmung der linken und rechten Grenzwerte gezeigt werden ( siehe weiter oben ).

( zur Begründung: Ich habe für die Berechnung von a und

b

etwas vorausgesetzt, was ich ja eigentlich erst zeigen sollte

!)

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