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Grenzwert einer Folge (eulersche Zahl)

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: e-Funktion, Eulersche Zahl, Folgen, Grenzwert

blub85 aktiv_icon

16:31 Uhr, 06.11.2008

sitze schon seit längerem an dieser aufgabe:

an = (n+2/n-2)^2n+2

habe auch ein Ergebnis raus undzwar e^-4 aber das kann ja eigentlich nicht sein....müsste ja größer als 1 sein!

Kann mir bitte jemand helfen

andy

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
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fantasma aktiv_icon

16:34 Uhr, 06.11.2008

Leider ist Deine Schreibweise nicht ganz eindeutig.
Meinst Du dieses hier:

a_{n} = {(n + \frac{2}{n} - 2)}^{2 n} + 2

blub85 aktiv_icon

16:38 Uhr, 06.11.2008

so gehts besser:

an = (

\frac{n + 2}{n - 2})^{2 n + 2}

fantasma aktiv_icon

17:28 Uhr, 06.11.2008

Als Grenzwert muss rauskommen

e^{8}

.
Tipp:

e

ist der Grenzwert einer Folge, nämlich welcher? Und wie kann man das ausnutzen?

blub85 aktiv_icon

17:43 Uhr, 06.11.2008

habe versucht die folge durch umformungen etc so umzustellen, dass man auf den prototyp der e-folge kommt. Meine letze Zeile sieht wie folgt aus:

[(1 -

\frac{4}{m})^{m}]^{- 2} . (1 - \frac{4}{m})^{2}

komme jetzt aber nicht weiter.
Andy

fantasma aktiv_icon

23:52 Uhr, 06.11.2008

Polynomdivision ergibt:

(n + 2) : (n - 2) = 1 + \frac{4}{n - 2} = 1 + \frac{1}{m}

mit

m := \frac{n - 2}{4}

(bzw.

n = 4 m + 2

).
Statt der Folge

(a_{n})

betrachten wir nun die Folge

(b_{m})

mit

b_{m} = {(1 + \frac{1}{m})}^{2 \cdot (4 m + 2) + 2};

b_{m} = {(1 + \frac{1}{m})}^{8 m + 6};

b_{m} = {(1 + \frac{1}{m})}^{6} \cdot {[{(1 + \frac{1}{m})}^{m}]}^{8}

Für

m \to + \infty

konvergiert der erste Faktor von

(b_{m})

gegen

1,

der zweite hingegen gegen

e^{8}

. Insgesamt konvergiert

(b_{m})

also gegen

e^{8}

(b_{m})

ist eine Teilfolge von

(a_{n})

(a_{n})

konvergiert ebenfalls, und zwar gegen den gleichen Grenzwert. Das kannst Du

z . B

. mit dem Cauchy-Kriterium begründen.

blub85 aktiv_icon

19:57 Uhr, 07.11.2008

danke

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