Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Grenzwert einer Wurzelfolge

Grenzwert einer Wurzelfolge

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert, Wurzel

Eisteepfirsich aktiv_icon

13:41 Uhr, 28.10.2014

Hallo Leute,
hier die Aufgabe:

Bestimme den Grenzwert der Folge:

2,2 \sqrt{2},2 \sqrt{2 \sqrt{2}}, 2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2}}}, . .

.

Wie macht man das ohne ein n?
geht dann die Folge gegen 2?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

CKims aktiv_icon

13:51 Uhr, 28.10.2014

forme alle terme so um dass die wurzeln immer ganz aussen stehen und alle zahlen ganz innen... wie sieht deine folge dann aus?

tommy40629 aktiv_icon

13:58 Uhr, 28.10.2014

Du kannst das auch untereinander schreiben und dann ein Bildungsgesetz suchen.
Das sieht irgendwie nach Rekursion aus. Bin mir aber nicht sicher.

2

2 \sqrt{2}

2 \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2}}

2 \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2}} \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}

u.s.w. Es kommt immer eine Wurzel mehr dazu.

Wir haben gelernt, dass der Grenzwert der n-ten Wurzel von 2 Eins ist.

Eisteepfirsich aktiv_icon

14:08 Uhr, 28.10.2014

Dann habe ich stehen:

\sqrt{4}, \sqrt{8}, \sqrt{4} \cdot \sqrt[4]{8}, \sqrt{4} \cdot \sqrt[8]{8}, . .

.

Und jetzt?

CKims aktiv_icon

14:15 Uhr, 28.10.2014

bin mir nicht ganz sicher ob du jetzt meinen weg oder tommys weg verfolgst...

ich meinte eher so

2

\sqrt{2^{2} \cdot 2}

\sqrt{\sqrt{2^{4} \cdot 2^{2} \cdot 2}}

\sqrt{\sqrt{\sqrt{2^{8} \cdot 2^{4} \cdot 2^{2} \cdot 2}}}

kannst du damit eine folge mit

n

bauen?

Eisteepfirsich aktiv_icon

14:36 Uhr, 28.10.2014

Vielleicht sowas in der Art:

\sqrt[n]{2 \cdot n}

und dann was hoch

n^{2}

damit die Potenz immer positiv ist?
muss ich dann das

n

noch definieren?

DrBoogie aktiv_icon

14:42 Uhr, 28.10.2014

Deine Folge ist

2^{1}

2^{1 + 1 / 2}

2^{1 + 1 / 2 + 1 / 4}

,...

tommy40629 aktiv_icon

14:54 Uhr, 28.10.2014

Das n-te Folgenglie hat dann ja die Form:

2^{\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{i}}

Grenzwert der Summe berechnen und dann 2 hoch diesen Grenzwert.

matheass14 aktiv_icon

16:32 Uhr, 29.10.2014

Das was du meinst wäre doch

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + . . . + \frac{1}{n}

Ich glaube, dass man die Folge so darstellen kann:

a_{n} = 2^{\sum_{i = 0}^{n - 1} \frac{1}{2^{i}}}

Edit: Habs jetzt ausgebessert.

Mauthagoras aktiv_icon

12:22 Uhr, 30.10.2014

Hallo,

falls Du noch an einer Lösung interessiert bist: Die Aufgabe sieht mir stark nach dem Klassiker für rekursive Folgen aus, nämlich die Anwendung von Bolzano für die Existenz des Grenzwertes und dann die Berechnung.

Also, die Folge ist gegeben durch

a_{1} = 2;

a_{n + 1} = 2 \sqrt{a_{n}}

n \in ℕ

.

Durch Induktion kann man zeigen, dass die Folge monoton wächst, wobei die Struktur dieser Induktion folgende ist:
Induktionsanfang:

a_{1} \leq a_{2}

.
induktionsschritt: Für jedes

n \in ℕ

gilt

a_{n} \leq a_{n + 1} \Rightarrow a_{n + 1} \leq a_{n + 2}

.
Die Ausführung ist leicht.

Ebenfalls induktiv zeigst Du, dass

4

eine obere Schranke der Folge ist.
Induktionsanfang:

a_{1} \leq 4

.
induktionsschritt: Für jedes

n \in ℕ

gilt

a_{n} \leq 4 \Rightarrow a_{n + 1} \leq 4

.
Die Ausführung ist hier auch leicht.

Also besitzt die Folge einen Grenzwert (Satz von Bolzano).

Die Berechnung dieses Grenzwertes

g

ist dann folgendenmaßen: Aus der Rekursionsbeziehung kann man ablesen, dass

g = 2 \sqrt{g}

.

Somit ist

g = 4

der gesuchte Grenzwert.

Alternativ kannst Du auch die explizite Darstellung verwenden, sie lautet fast wie gemige meinte:

a_{n} = 2^{\sum_{i = 0}^{n - 1} \frac{1}{2^{i}}}

,
was man wiederum durch Induktion zeigen kann.
Dann ergibt sich der Grenzwert (geometrische Reihe)

lim_{n \to \infty} a_{n} = 2^{\frac{1}{1 - 1 / 2}} = 2^{2} = 4 .

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1194868

1194318

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?