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Grenzwerte bestimmen mit eulerschen Zahl

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Eulersche Zahl, Folgen, Grenzwert

JaFode aktiv_icon

13:56 Uhr, 15.07.2020

Hi,
kann mir evtl. jemand erklären, wie ich bei den folgenden Grenzwerte vorgehen kann?

ich weiß das

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{x}{n})}^{n}

gegen

e^{x}

verläuft, aber ich verstehe nicht ganz was ich bei den Aufgaben machen muss.

Vielen Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
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Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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abakus

17:00 Uhr, 15.07.2020

Den Bruch kannst du mit n kürzen, dann erhältst du in der Klammer

1 - \frac{2}{n + \frac{1}{n}}

, und dafür gilt die Abschätzung

1 - \frac{2}{n} < 1 - \frac{2}{n + \frac{1}{n}} < 1 - \frac{2}{n + 1}

.
Schaffst du den Grenzwert für

(1 - \frac{2}{n + 1})^{n + 1}

?
Dann solltest du ihn auch für

(1 - \frac{2}{n})^{n + 1} = (1 - \frac{2}{n})^{n} \cdot (1 - \frac{2}{n})

schaffen.

ermanus aktiv_icon

17:36 Uhr, 15.07.2020

@abakus: Super :-)

JaFode aktiv_icon

17:53 Uhr, 15.07.2020

Vielen Dank!
Als Grenzwert für

{(1 - \frac{2}{n + 1})}^{n + 1}

habe ich

{(1 - \frac{2}{n + 1})}^{(\frac{n + 1}{2}) \cdot 2} = {({(1 - \frac{2}{n + 1})}^{\frac{n + 1}{2}})}^{2} = lim_{n \to \infty} \frac{1}{e^{2}}

und laut Lösung ist das auch das richtige Ergebnis.
Allerdings verstehe ich noch nicht so ganz warum ich den Term vergrößern darf.

Atlantik aktiv_icon

18:59 Uhr, 15.07.2020

"Allerdings verstehe ich noch nicht so ganz warum ich den Term vergrößern darf."

Eben weil:

{(1 - \frac{2}{n + 1})}^{n + 1} = {(1 - \frac{2}{n + 1})}^{(\frac{n + 1}{2}) \cdot 2} = {({(1 - \frac{2}{n + 1})}^{(\frac{n + 1}{2})})}^{2}

ist.

mfG

Atlantik

ermanus aktiv_icon

19:17 Uhr, 15.07.2020

@atlantik: ich glaube nicht, dass der Fragesteller
dies Problem hatte, vielmehr dürfte ihn

lim (1 - \frac{2}{n})^{n + 1} = lim (1 - \frac{2}{n})^{n} \cdot lim (1 - \frac{2}{n}) = e^{- 2} \cdot 1

schon eher interessieren ...
Gruß ermanus

JaFode aktiv_icon

19:26 Uhr, 15.07.2020

Ahh also ist:

{(1 - \frac{2}{n + (\frac{1}{n})})}^{n + 1} = e^{- 2}

weil der kleinere als auch der größere Term

e^{- 2}

ergeben?

ermanus aktiv_icon

20:00 Uhr, 15.07.2020

Genau :-)
Sandwich-Lemma ...

JaFode aktiv_icon

20:03 Uhr, 15.07.2020

Ah das kannte ich noch nicht.
Vielen Dank euch allen ihr habt mir sehr geholfen :-).

1509232

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