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Grenzwerte bestimmen mit eulerscher Zahl

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Eulersche Zahl, Grenzwert, lim

Garfield05

21:34 Uhr, 14.04.2010

Hallo,

könnt ihr mir evtl. erklären, wie ich bei der angehängten aufgabe vogehen kann? Würde mich sehr über eine Erklärung freuen.

Vielen Dank im Vorraus - ihr seid mein Segen^^

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
Logarithmusgesetze - Einführung
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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\frac{0}{0}

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arrow30

21:54 Uhr, 14.04.2010

1 :

lim_{n \to \infty} {(\frac{2 n + 1}{2 n})}^{2 n - 1} = lim_{n \to \infty} {(\frac{2 n}{2 n} + \frac{1}{2 n})}^{2 n - 1} = lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{2 n})}^{2 n} \cdot {(1 + \frac{1}{2 n})}^{- 1} \to e \cdot 1 = e

2 : lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{x}{n})}^{n} = lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{\frac{n}{x}})}^{n} = lim_{n \to \infty} {({(1 + \frac{1}{\frac{n}{x}})}^{\frac{n}{x}})}^{x} \to

mit

\frac{n}{x} = k \to \infty lim_{n \to \infty} {({(1 + \frac{1}{k})}^{k})}^{x} = e^{x} \to x = - 1 \to e^{- 1}

{(\frac{n^{2} - 1}{n^{2}})}^{n} = {(1 - \frac{1}{n^{2}})}^{n} = {({(1 - \frac{1}{n^{2}})}^{n^{2}})}^{\frac{1}{n}} = {(e^{- 1})}^{\frac{1}{n}} = 1

letzte

\to 1

@ Edit Alternativlösung zu

3 : {(1 - \frac{1}{n^{2}})}^{n} = {(1 - \frac{1}{n})}^{n} \cdot {(1 + \frac{1}{n})}^{n} \to e^{- 1} \cdot e^{1} = 1

Garfield05

22:46 Uhr, 14.04.2010

super - du bist mir wirklich eine große Hilfe

ich verstehe nur noch nicht 2 - woher kommt das x

schöne grüße,

Garfield05

arrow30

22:48 Uhr, 14.04.2010

bei 2 habe ich es Allgemein für jedes

x

aus

ℝ

bewiesen als

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{x}{n})}^{n} = e^{x}

du sollst nur noch

x = - 1

einsetzen

Garfield05

23:08 Uhr, 14.04.2010

genial

schade, dass es hier keinen "donate" button gibt - falls du mir deine adresse verrätst schicke ich dir gerne mal etwas "nervennahrung"

hannes.c@web.de

schönen abend noch,

Garfield05

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