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Größte Differenz zweier Sinus Funktionen

Schüler

Tags: Analysis, Differenz von zwei Funktionen, Sinusfunktion

traumusa aktiv_icon

19:03 Uhr, 05.04.2014

Die Funktionen

f (x) = 8 sin (\frac{π}{12} (x - 8.5)) + 21

und

g (x) = 3 sin (\frac{π}{12} (x - 12)) + 18

geben im Bereich 0 bis

24

die Innen und Außentemperatur an.

Zu welcher Uhrzeit ist diese Differenz am Größten?

Mein Ansatz wäre

d (x) = | f (x) - g (x) |

und von

d (x)

dann die Ableitung zu bilden, gleich Null zu setzen und man hat den Hochpunkt...

Nur leider habe ich keine Ahnung wie ich das subtrahiere. Als ich das probiert habe wurde

x

weggekürzt.

Danke für eure Hilfe,

MfG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Allgemeine Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Sinus- und Kosinusfunktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DrBoogie aktiv_icon

19:21 Uhr, 05.04.2014

Den

x

im inneren der Sinus-Funktion darfst Du nicht nach vorne ziehen. Du darfst mit ihm eigentlich so gut wie nichts machen, von daher können

x

-e sich auch gar nicht kürzen. Nach der Subtraktion bekommst Du einfach eine Funktion der Form

8 \sin (i r g e n d w a s) - 3 \sin (i r g e n d w a s) + 3

, da sind keine Umformungen sinnvoll. Und den Betrag brauchst Du auch nicht, dadurch wird das Leben nur schwieriger. Ob der Punkt, in dem Ableitung Null ist, dann Maximum oder Minimum ist, wirst Du auch so erkennen können.

traumusa aktiv_icon

19:37 Uhr, 05.04.2014

Aber wie löse ich denn dann nach

X

auf?

8 sin (

irgendwas ) −

3 sin (

irgendwas

) + 3

hilft mir ja nicht viel?

Soll ich dann beide halbe Funktionen getrennt ableiten?

Respon

19:46 Uhr, 05.04.2014

d (x) = f (x) - g (x)

d' (x) = f' (x) - g' (x) (

Ableitung von sin ist

cos,

Kettenregel beachten ).

\Rightarrow d' (x) = 0

Summensätze anwenden.

traumusa aktiv_icon

19:53 Uhr, 05.04.2014

Okay, dann wäre

d' (x) = \frac{8 π}{12} cos (\frac{π}{12} (x - 8.5)) - \frac{3 π}{12} cos (\frac{π}{12} (x - 12))

aber wie löse ich denn jetzt auf?

Respon

19:55 Uhr, 05.04.2014

Wenn

d' (x) = 0,

so fällt

\frac{π}{12}

weg.
Was erhält man dann ?

traumusa aktiv_icon

20:03 Uhr, 05.04.2014

Wieso fällt dann

\frac{π}{12}

weg?

Respon

20:09 Uhr, 05.04.2014

Das würde etwa so aussehen:

cos (α - β) = cos (α) \cdot cos (β) + sin (α) \cdot sin (β)

cos (\frac{π \cdot x}{12} - \frac{8,5 \cdot π}{12}) = cos (\frac{π \cdot x}{12}) \cdot cos (\frac{8,5 \cdot π}{12}) + sin (\frac{π \cdot x}{12}) \cdot sin (\frac{8,5 \cdot π}{12})

traumusa aktiv_icon

20:14 Uhr, 05.04.2014

Tut mir leid ich glaube nicht dass ich bisher einen Summensatz gelernt habe.

Normalerweise hätte ich immer per Substitution gelöst. Nur hier komme ich nicht weiter. Wofür steht denn

α

und

β

DrBoogie aktiv_icon

20:17 Uhr, 05.04.2014

α

und

β

sind beliebige Argumente, kannst für sie alles Mögliche einsetzten.
Die Formel von Respon gehört 1000% zum Schulprogramm.

Respon

20:20 Uhr, 05.04.2014

Sry, habe oben editiert !

traumusa aktiv_icon

20:25 Uhr, 05.04.2014

Also ich komme aus Bremen, da ist einiges nicht im Schulprogramm leider.

Noch eine Frage zu diesem Satz: Wo verschwindet denn die 8 und 3 hin?

Respon

20:26 Uhr, 05.04.2014

Nein, 8 und 3 verschwinden nicht. Ich habe nur die isolierte Umfomung von

cos

hingeschrieben.

Respon

20:31 Uhr, 05.04.2014

8 \cdot cos (\frac{π \cdot x}{12} - \frac{8,5 \cdot π}{12}) = 3 \cdot cos (\frac{π \cdot x}{12} - π)

8 \cdot cos (\frac{π \cdot x}{12}) \cdot cos (\frac{8,5 \cdot π}{12}) + 8 \cdot sin (\frac{π \cdot x}{12}) \cdot sin (\frac{8,5 \cdot π}{12}) = 3 \cdot cos (\frac{π \cdot x}{12}) \cdot cos (π) + 3 \cdot sin (\frac{π \cdot x}{12}) \cdot sin (π)

traumusa aktiv_icon

20:32 Uhr, 05.04.2014

Also leider krieg ich das immer noch nicht auf die Reihe...

Ich weiß einfach nicht wie ich dann nach

X

auflöse.

Es wäre aber super super freundlich wenn du/ihr mir einen kompletten Lösungsweg aufschreiben könntet.

Ich verstehe das so einfach nicht

: (

Respon

20:45 Uhr, 05.04.2014

8 \cdot cos (\frac{π \cdot x}{12} - \frac{8,5 \cdot π}{12}) = 3 \cdot cos (\frac{π \cdot x}{12} - π)

8 \cdot cos (\frac{π \cdot x}{12}) \cdot cos (\frac{8,5 \cdot π}{12}) + 8 \cdot sin (\frac{π \cdot x}{12}) \cdot sin (\frac{8,5 \cdot π}{12}) = 3 \cdot cos (\frac{π \cdot x}{12}) \cdot cos (π) + 3 \cdot sin (\frac{π \cdot x}{12}) \cdot sin (π)

8 \cdot cos (\frac{π \cdot x}{12}) \cdot cos (\frac{8,5 \cdot π}{12}) - 3 \cdot cos (\frac{π \cdot x}{12}) \cdot cos (π) + = 3 \cdot sin (\frac{π \cdot x}{12}) \cdot sin (π) - 8 \cdot sin (\frac{π \cdot x}{12}) \cdot sin (\frac{8,5 \cdot π}{12})

cos (\frac{π \cdot x}{12}) \cdot [8 \cdot cos (\frac{8,5 \cdot π}{12}) - 3 \cdot cos (π)] = sin (\frac{π \cdot x}{12}) \cdot [3 \cdot sin (π) - 8 \cdot sin (\frac{8,5 \cdot π}{12})]

\frac{8 \cdot cos (\frac{8,5 \cdot π}{12}) - 3 \cdot cos (π)}{3 \cdot sin (π) - 8 \cdot sin (\frac{8,5 \cdot π}{12})} = \frac{sin (\frac{π \cdot x}{12})}{cos (\frac{π \cdot x}{12})}

\frac{sin (\frac{π \cdot x}{12})}{cos (\frac{π \cdot x}{12})} = \frac{8 \cdot cos (\frac{8,5 \cdot π}{12}) - 3 \cdot cos (π)}{3 \cdot sin (π) - 8 \cdot sin (\frac{8,5 \cdot π}{12})}

tan (\frac{π \cdot x}{12}) = \frac{8 \cdot cos (\frac{8,5 \cdot π}{12}) - 3 \cdot cos (π)}{3 \cdot sin (π) - 8 \cdot sin (\frac{8,5 \cdot π}{12})}

Die rechte Seite läßt sich numerisch berechnen, dann mit arctan weiter

...

.
( Bitte nachrechnen wegen Schreibfehler )

pleindespoir aktiv_icon

21:06 Uhr, 05.04.2014

Ich bezweifle, dass sich das arithmetisch lösen lässt.

Ist die Aufgabenstellung so korrekt ? Ohne Maschinenhirn kommt man da kaum zum Ziel.

Respon

21:48 Uhr, 05.04.2014

Berechnet man die rechte Seite, so erhält man

tan (\frac{π \cdot x}{12}) = 0,29465

\frac{π \cdot x}{12} = 0,2865 + π \cdot n

n \in ℤ

Als "Kanditaten" im gegebenen Intervall erhalten wir daher

x = 1,09

oder

x = 13,09

Eine Überprüfung mit

d'' (x)

liefert

13,09

( Wobei mir nicht ganz klar ist, was der Wert

x = 1,09

zu bedeuten hat )

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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