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Integral, Funktionen gleichsetzen

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Funktion, Gleichsetzen, Integral

Lunnu aktiv_icon

16:01 Uhr, 17.03.2010

Hallo:-)
also ich soll das Integral zwischen zwei Funktionen ausrechnen,

f (x)

und

g (x)

Dazu muss ich ja die beiden gleichsetzen damit ich die Schnittpunkte erhalte und die Grenzen bestimmen kann. Nur leider klappts bei mir bei diesen relativ einfach Funktionen hier nicht:
Aufgabe

1 : f (x) = x^{4} - x^{2}

und

g (x) = 4 \cdot (x - 1) (x + 1)

Aufgabe

2 : f (x) = x^{5} - 4 x^{3}

und

g (x) = x^{4} - 4 x^{2}

das wär super wenn ihr mir den Lösungsschritt schreiben könntet damit ich das mit dem gleichsetzen nochmal wiederholen kann.
Vielen Dank im Voraus und liebe Grüße

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

smoka

16:13 Uhr, 17.03.2010

Hallo, Du meinst wahrscheinlich, dass Du die Fläche zwischen den Funktinsgraphen berechnen sollst.

Wie Du schon richtig gesagt hast, musst Du die Schnittpunkte der Funktionen durch Gleichsetzen bestimmen.

f (x) = g (x)

\Rightarrow x^{4} - x^{2} = 4 x^{2} - 4

\Rightarrow x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0

Jetzt kannst Du z.B. substituieren mit:

z := x^{2}

\Rightarrow z^{2} - 5 z + 4 = 0

und mit p-q-Formel lösen.

Miro1987 aktiv_icon

16:13 Uhr, 17.03.2010

Halli Hallo,
Also....

f (x) = g (x)

x^{4} - x^{2} = 4 (x - 1) (x + 1)

x^{4} - x^{2} = 4 x^{2} + 4 x - 4 x - 4

x^{4} - x^{2} = 4 x^{2} - 4

x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0

Dann Substutitionsverfahren also

x^{4} = z^{2}

und

x^{2} = z

z^{2} - 5 z + 4 = 0

Mit PQ - Formel

z_{1} = 4

z_{2} = 1

x = \pm \sqrt{4} \Rightarrow x_{1} = 2; x_{2} = - 2

x = \pm \sqrt{1} \Rightarrow x_{3} = 1; x_{4} = - 1

Also schneiden sich die Graphen bei

- 2, - 1, 1

und 2
Ich hoffe das bringt dich auf die Sprünge :-D)

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Lunnu aktiv_icon

20:08 Uhr, 18.03.2010

Danke danke:-) aber was ist mit Aufgabe 2 ? ;-)

pleindespoir aktiv_icon

15:28 Uhr, 19.03.2010

Aufgabe 2:

f (x) = x^{5} - 4 x^{3} u n d g (x) = x^{4} - 4 x^{2}

x^{5} - 4 x^{3} = x^{4} - 4 x^{2}

x^{5} - 4 x^{3} - x^{4} + 4 x^{2} = 0

x^{2} (x^{3} - x^{2} - 4 x + 4) = 0

wenn ein Faktor Null wird, wird das Produkt Null, also:

x^{2} = 0

damit hättten wir schonmal eine (doppelte) Nullstelle

x^{3} - x^{2} - 4 x + 4 = 0

kann man durch finden einer Nullstelle durch den entsprechenden Linearfaktor teilen und so um eine Potenz vermindern.
Zum Probieren Primfaktoren des absoluten Gliedes testen: -4;-2-1;+1;+2;+4

natsu

15:37 Uhr, 19.03.2010

ich rechne von pleindespoir mal weiter

Gehe davon aus das

0 = x^{3} - x^{2} - 4 x + 4

stimmt.

Durch testen bekommt man

x_{0} = 1

.

Polynomdivision

\frac{x^{3} - x^{2} - 4 x + 4}{x - 1} = x^{2} + 4

x_{1} = 2

x_{2} = - 2

pleindespoir aktiv_icon

20:23 Uhr, 19.03.2010

Damit bekommst du die drei Nullstellen des rechten Faktors - gut gemacht!
Aber der linke Faktor ist ja auch noch da - also wo sind jetzt Schnittstellen der Funktionen und wieviel Integrationsintervalle musst du bilden?

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