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Integral & Parametrisierung

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Integration

Tags: Integral, Integration, Oberflächenintegral, parametrisierung, skizzieren

Moker aktiv_icon

18:56 Uhr, 13.07.2023

Einen schönen Abend,
Ich versuche gerade mein Glück bei dieser Aufgabe zu Integralen und der Parametrisierung von

S

aber leider ohne Erfolg. Die Aufgabe ist leider zu kompliziert für mich. Ich lade die Aufgabe im Anhang hoch und würde mich über Hilfe sehr freuen.

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Respon

22:55 Uhr, 13.07.2023

x^{2} + y^{2} = z^{2} + 1

x^{2} + y^{2} = {(\sqrt{z^{2} + 1})}^{2}

Parameterdarstellung Kreis

: x^{2} + y^{2} = r^{2} \Rightarrow v \mapsto (\begin{matrix} r \cdot cos (v) \\ r \cdot sin (v) \end{matrix})

x^{2} + y^{2} = {(\sqrt{z^{2} + 1})}^{2} \Rightarrow v \mapsto (\begin{matrix} \sqrt{z^{2} + 1} \cdot cos (v) \\ \sqrt{z^{2} + 1} \cdot sin (v) \end{matrix})

Setze

z = sinh (u)

\sqrt{z^{2} + 1} = \sqrt{{sinh}^{2} (u) + 1} = \sqrt{{sinh}^{2} (u) + {cosh}^{2} (u) - {sinh}^{2} (u)} = cosh (u)

\Rightarrow

(u, v) \mapsto (\begin{matrix} cosh (u) \cdot cos (v) \\ cosh (u) \cdot sin (v) \\ sinh (u) \end{matrix})

michaL aktiv_icon

10:16 Uhr, 17.04.2026

Hallo,

um der Wahrheit die Ehre zu geben, findet man allein aus

x^{2} + y^{2} = z^{2} - 1 \overset{}{\Leftrightarrow} x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1

heraus, dass es sich die Fläche um ein einschaliges Hyperboloid handelt. [1]

Du bemerkst, wie Respon hier Polarkoordinaten für

x

und

y

einführt und die Unabhängigkeit der Fläche vom Winkel

φ

einbringt.

Damit landet man eher automatisch bei der Parametrisierung einer Hyperbel wie in [2] für die Koordinaten

r

und

z

.

Mfg Michael

Weblinks:
[1] de.wikipedia.org/wiki/Hyperboloid
[2] vhm.mathematik.uni-stuttgart.de/Vorlesungen/Vektorrechnung/old/Folien_Hyperbel.pdf, Seite 2

michaL aktiv_icon

10:16 Uhr, 17.04.2026

Hallo,

nervöser Zeigefinger, daher Doppelpost.
Sorry.

Mfg MIchael

calc007

10:25 Uhr, 17.04.2026

...dat Ding ist aus

2023

und wurde durch (KI-) Werbe-Einlage wieder hochgespült.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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