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Integral berechnen: Substitution

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Grenzen, Integral, Integration, Substitution

flowerpower1234 aktiv_icon

16:58 Uhr, 21.10.2012

Hallo zusammen !

Ich möchte

\int_{a}^{b} \sqrt{1 + x^{2}} d x

berechnen...

Dazu hab ich

t = sinh (u)

subistuiert:

t = sinh (u) \Leftrightarrow \frac{d t}{d u} = cosh (u) \Leftrightarrow d t = cosh (u) d u

\int_{a}^{b} \sqrt{1 + x^{2}} d x

= \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {sinh}^{2} (u)} \cdot cosh (u)

= \int_{a}^{b} {cosh}^{2} (u)

du

So weiter komm ich nicht, ich weiß zwar, dass die Stammfunktion von

cosh

der

sinh

ist, aber ich hab Schwierigkeiten bei der Rücksubstitution.

Außerdem hätte ich ja auch die Grenzen substituieren müssen, weiß aber nicht wie ich das machen kann.

Kann mir jemand helfen? Vielen lieben Dank schon mal! flowerpower1234

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Mathe-Steve aktiv_icon

17:06 Uhr, 21.10.2012

Hallo,

zunächst einmal hast Du x=sinh(u) substituiert und nicht t.

Nun sind Untergrenze x=a und Obergrenze x=b zu substituieren, also sinh(u) = a und sinh(u) = b, deshalb Untergrenze u=arsinh(a) und Obergrenze u=arsinh(b).

Du kannst cosh²(x) entweder durch partielle Integration bestimmen oder umschreiben zu ${(\frac{e^{x} + e^{- x}}{2})}^{2}$ . Dies wiederum kanst Du ausquadrieren und leicht integrieren.

Gruß

Stephan

flowerpower1234 aktiv_icon

18:54 Uhr, 21.10.2012

Hallo ! Erstmal danke für die Antwort. Das mit den Grenzen hab ich jetzt verstanden.

Ich hab diesen Ausdruck jetzt quadriert, so wie du gesagt hast

\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{x} + e^{- x}}{2} = \frac{{(e^{x})}^{2} + e^{x} \cdot e^{- x} + e^{x} \cdot e^{- x} + {(e^{- x})}^{2}}{4}

= \frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x}}{4} = \frac{3}{4}

Wäre dann die Stammfunktion

\frac{3}{4} u

und damit das Integral

\frac{3}{4}

arsinh (b)

- \frac{3}{4}

arsinh(a) ???

Mathe-Steve aktiv_icon

19:06 Uhr, 21.10.2012

Also das =3/4 hast Du erfunden ;-)

$\frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x}}{4}$ hat die Stammfunktion $\frac{\frac{e^{2 x}}{2} + 2 x + \frac{e^{- 2 x}}{- 2}}{4}$ .

Allerdings denke ich, dass das Endergebnis schöner wird, wenn Du cosh²(x) partiell integrierst.

flowerpower1234 aktiv_icon

19:17 Uhr, 21.10.2012

Oh mist...da hast du natürlich Recht...das hab ich mir fälschlicherweise aus den Fingern gesogen ;-)

Ich bin noch nicht ganz soo fit im Stammfunktionen bilden. Kannst du mir vielleicht erklären warum im Nenner die 4 stehen geblieben bist. Die Stammfunktionen der drei Summanden im Zähler kann ich nachvollziehen.

Danke schon mal!

Mathe-Steve aktiv_icon

19:25 Uhr, 21.10.2012

Durch vier zu teilen ist dasselbe wie mit 1/4 zu multiplizieren. Beim Integrieren bleibt ein konstanter Faktor erhalten: $\int k \cdot f (x) d x = k \cdot \int f (x) d x$

flowerpower1234 aktiv_icon

20:00 Uhr, 21.10.2012

Wenn man das

\frac{1}{4}

herauszieht, hat man dann

\frac{1}{4} [e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x}]

in den entsprechenden Grenzen ?

Mathe-Steve aktiv_icon

20:09 Uhr, 21.10.2012

Nein, du musst doch die Stammfunktion bilden, also $\frac{1}{4} [\frac{e^{2 x}}{2} + 2 x + \frac{e^{- 2 x}}{- 2}] = \frac{1}{8} [e^{2 x} + 4 x - e^{- 2 x}]$ .

anonymous

20:41 Uhr, 21.10.2012

Eine Bemerkung zur ersten Eintragung um

16 : 58

x = sinh (t)

ist eine gute Möglichkeit, da

\int ({cosh}^{2} (t)) d t

eher leicht zu berechnen ist
Zu den Grenzen:

x = sinh (t), x = a \Rightarrow a = sinh (t) \Rightarrow t =

asinh

(a)

Mathe-Steve aktiv_icon

20:52 Uhr, 21.10.2012

Und was willst Du flowerpower damit sagen? Alles, was Du schreibst, haben wir bereits geklärt. Es fehlt nur die Integration von cosh²(x). Da will flowerpower nicht mit partieller Integration heran, aber Du kannst ihr sicher zeigen, wie das geht. Dann kann sie sich die unhandliche Variante mit der Exponentialfunktion sparen.

flowerpower1234 aktiv_icon

17:58 Uhr, 22.10.2012

Okay, das hab ich jetzt nachvollzogen. Vielen Dank nochmal für die super Hilfe!

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