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Integral sin(kx)*cos(kx)

Schüler

Tags: Integral

Sabine2 aktiv_icon

13:59 Uhr, 12.01.2013

Hallo,
ich möchte grade das Integral

\int x^{2} \cdot {cos (k \cdot x)}^{2} d x

lösen und muss dazu bei einem Zwischenschritt

\int sin (k \cdot x) \cdot cos (k \cdot x) d x

lösen.

Ich habe dazu

z = sin (k \cdot x)

gesetzt.

\frac{d z}{d x} = k \cdot cos (k \cdot x) \Rightarrow d x = \frac{d z}{k \cdot cos (k \cdot x)}

Es ergibt sich

\int z \cdot \frac{1}{k} d z = \frac{z^{2}}{2 \cdot k} = \frac{{sin (k \cdot x)}^{2}}{2 \cdot k}

Ich weiß aber, das das nicht stimmt. es müsste

- \frac{{cos (k \cdot x)}^{2}}{2 \cdot k}

rauskommen und das ist nicht identisch mit dme obigen. Was mache ich falsch?

Sabine

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Mathe45

14:21 Uhr, 12.01.2013

sin (α) \cdot cos (α) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot sin (α) \cdot cos (α) = \frac{1}{2} \cdot sin (2 \cdot α)

. .

. würde die Sache erleichtern.

Mathe45

14:29 Uhr, 12.01.2013

\int sin (k \cdot x) \cdot cos (k \cdot x) d x = \frac{1}{2} \cdot \int 2 \cdot sin (k \cdot x) \cdot cos (k \cdot x) d x = \frac{1}{2} \cdot \int sin (2 \cdot k \cdot x) d x

z = 2 \cdot k \cdot x \Rightarrow d x = \frac{d z}{2 \cdot k}

\frac{1}{2} \cdot \int sin (2 \cdot k \cdot x) d x = \frac{1}{2} \cdot \int sin (z) \cdot \frac{d z}{2 \cdot k} = \frac{1}{4 \cdot k} \cdot \int sin (z) d z = - \frac{1}{4 \cdot k} \cdot cos (z) =

= - \frac{1}{4 \cdot k} \cdot cos (2 \cdot k \cdot x)

Sabine2 aktiv_icon

14:33 Uhr, 12.01.2013

Darum gehts mir ja nicht. Wieso ist mein Weg falsch? Das möchte ich wissen.

Mathe45

14:46 Uhr, 12.01.2013

Differenziere beide Ergebnisse, das ist das Gleiche

Sabine2 aktiv_icon

14:48 Uhr, 12.01.2013

Ich verstehe nicht, was du meinst. Das was bei mir rauskommt ist definitiv falsch (das mit den sinus).

Mathe45

14:49 Uhr, 12.01.2013

(\frac{{sin}^{2} (k \cdot x)}{2 \cdot k})' = \frac{1}{2 \cdot k} \cdot 2 \cdot sin (k \cdot x) \cdot cos (k \cdot x) \cdot k = sin (k \cdot x) \cdot cos (k \cdot x)

(\frac{- {cos}^{2} (k \cdot x)}{2 \cdot k})

' = - \frac{1}{2 \cdot k} \cdot 2 \cdot cos (k \cdot x) (- sin (k \cdot x)) \cdot k = sin (k \cdot x) \cdot cos (k \cdot x)

Sabine2 aktiv_icon

15:05 Uhr, 12.01.2013

Also ist meins doch richtig? Aber wenn ich in Wolframalpha

\frac{{sin (k \cdot x)}^{2}}{2 \cdot k} = - \frac{{cos (k \cdot x)}^{2}}{2 \cdot k}

eingebe, zeit er false an. Damit das gleich ist, müsste ja

{sin (x)}^{2} = - cos (x^{2})

sein, aber das ist doch schwachsinn.

Sabine2 aktiv_icon

17:46 Uhr, 14.01.2013

Die Frage ist mehr oder weniger beantwortet, danke!

anonymous

03:33 Uhr, 15.01.2013

Du hast bei deinem letzten Posting

(.

. das ist doch Schwachsinn ) übersehen, dass es zu einer gegebenen Funktion unendlich viele Stammfunktionen gibt, die sich in der additiven Konstanten

(z . B

+ C)

unterscheiden.
Es läßt sich leicht zeigen, dass bei geeigneter Wahl der additiven Konstanten ( die ja von uns frei wählbar ist oder uns auch überhaupt nicht interessiert ) die zwei anscheinend so unterschiedlichen Stammfunktionen identisch sind.

Was in unseren Überlegungen stets fehlte, war diese additive Konstante.
also

F_{1} (x) = \frac{{sin}^{2} (k \cdot x)}{2 \cdot k} + C_{1}

F_{2} (x) = \frac{- {cos}^{2} (k \cdot x)}{2 \cdot k} + C_{2}

sind zwei richtige Stammfunktionen ( die allerdings sehr "verschieden" aussehen )
Wähle ich nun für die Konstante

C_{2}

einen speziellen Wert ( was bei einem unbestimmten Integral erlaubt ist ) so kann ich zeigen, dass

F_{2} (x)

identisch mit

F_{1} (x)

ist.

z . B

C_{2} = \frac{1 + 2 \cdot k \cdot C_{1}}{2 \cdot k}

( dieses

C_{2}

ist genauso wie jeder andere beliebige Wert eine erlaubte Konstante )
Dann ergibt sich aber

F_{2} (x) = \frac{- {cos}^{2} (k \cdot x)}{2 \cdot k} + C_{2} = \frac{- {cos}^{2} (k \cdot x)}{2 \cdot k} + \frac{1 + 2 \cdot k \cdot C_{1}}{2 \cdot k} =

= \frac{1 - {cos}^{2} (k \cdot x) + 2 \cdot k \cdot C_{1}}{2 \cdot k} = \frac{{sin}^{2} (k \cdot x) + 2 \cdot k \cdot C_{1}}{2 \cdot k} = \frac{{sin}^{2} (k \cdot x)}{2 \cdot k} + \frac{2 \cdot k \cdot C_{1}}{2 \cdot k} = \frac{{sin}^{2} (k \cdot x)}{2 \cdot k} + C_{1} = F_{1} (x)

Die beiden Stammfunktionen sind also - vom Gesichtspunkt der Integralrechnung - trotz ihres unterschiedlichen Aussehens gleich.
( Hoffentlich war das einigermaßen verständlich ausgedrückt. )

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