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Integral über Reihe

Universität / Fachhochschule

Tags: Abschätzung, Fehler, Integral, reih

Anes1710 aktiv_icon

23:25 Uhr, 04.04.2018

Hallo,
Ich habe folgendes Integral

\int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x

Ich würde erstmal den Integranden in eine Potenzreihe entwickeln

lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^{n} \frac{{(- 1)}^{k}}{k!} \cdot x^{2 k}

Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz der

e

Reihe darf nun Integral und Grenzwert vertauscht werden.

D . h

ich bekomme nach gliederweiser

n

facher Integration.

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{k!}

Stimmt das?
Wie kann ich das

n

bekommen,sodass der Fehler zwischen Integral und

n

ter Partialsumme Partialsumme

\frac{1}{100000}

ist?
Danke für eure Hilfe:-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Roman-22

23:38 Uhr, 04.04.2018

>

Stimmt das?
Nicht ganz. Du hast beim Integrieren offenbar was vergessen, nämlich durch die neue Hochzahl zu dividieren.

Richtig wäre

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{k! \cdot (2 k + 1)}

Das liefert dann auch

\frac{\sqrt{π}}{2} \cdot e r f (1) \approx 0,746824132812427025399467436132,

denn hier gehts ja um die Gaußsche Fehlerfunktion.

>

Wie kann ich das

n

bekommen,sodass der Fehler zwischen Integral und

n

ter Partialsumme Partialsumme

1100000

ist?
Da es sich um eine alternierende Reihe handelt, könntest du den Fehler mit dem Betrag des (n+1)-ten Glieds, als dem ersten vernachlässigten Glied, abschätzen. Ist aber auch nicht ganz elementar das auszurechnen, dass du für

k = 8

das erste Mal ein Glied erhältst, welches kleiner als

10^{- 5}

ist.

Anes1710 aktiv_icon

23:41 Uhr, 04.04.2018

Ja klar danke:-)
Stimmt die Erklärung mit dem Vertauschen von Grenzwert und Integral?

Wie kriege ich diese Fehlerabschätzung hin?

Roman-22

23:48 Uhr, 04.04.2018

hab diesbezgl oben noch ergänzt. Schätze dass die anderen Restgliedformeln aber auch nicht angenehmer sein werden

Anes1710 aktiv_icon

23:52 Uhr, 04.04.2018

Ich verstehe nicht genau, wie du das

n + 1

Glied herausfindest?
Durch Probieren?
Kommt man mit dem Restglied von Taylor weiter?

Roman-22

00:16 Uhr, 05.04.2018

>

Ich verstehe nicht genau, wie du das

n + 1

Glied herausfindest?

>

Durch Probieren?
Ist auch eine praktikable Möglichkeit

>Kommt man mit dem Restglied von Taylor weiter?
Du kannst auch mit der Lagrange Restgliedformel versuchen den Fehler abzuschätzen

Anes1710 aktiv_icon

07:54 Uhr, 05.04.2018

Wie soll den diese prakktikable Methode gehen?

Roman-22

13:38 Uhr, 05.04.2018

>

Wie soll den diese prakktikable Methode gehen?
Das war auf den Vorschlag "Probieren" bezogen.
Also durch Einsetzen von Werten sich daran herantasten, dass für

k = 8

der Ausdruck

\frac{1}{k! \cdot (2 k + 1)}

erstmals kleiner als

10^{- 5}

wird.

Anes1710 aktiv_icon

00:06 Uhr, 08.04.2018

Sorry für die verspätete Antwort. Danke dir für deine Hilfe:-)

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