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Integral über einen Quader?

Universität / Fachhochschule

Tags: Integral, mehrdimensionale Analysis, Mehrdimensionale Integralrechnung

mac-user09 aktiv_icon

16:55 Uhr, 17.07.2013

Hallo,

ich habe folgendes Problem:

Berechnen sie

\int_{Q} f

für Q={x

\in ℝ^{2} : ∣ ∣ x ∣ ∣_{\infty} \leq 2

} und

f (x) = e^{x_{1}}

Wie soll ich denn aus der Unendlich-Norm die Grenzen bekommen? Sind die dann einfach -2 und 2?

Irgendwie stehe ich da auf dem Schlauch...

Hoffe auf eure Hilfe
Mac

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pleindespoir aktiv_icon

12:30 Uhr, 20.07.2013

Vielleicht stellst Du mal zur Verdeutlichung dar, was Norm 1; Norm 2 ; etc geometrisch bedeutet.

dann ist klar, was Norm unendlich bedeutet

mac-user09 aktiv_icon

17:28 Uhr, 20.07.2013

Hi,

naja, die

E u k l i d i s c h e

N o r m

(oder

2 - N o r m

) ist eine Kreisscheibe mit konstantem Radius.

Die

1 - N o r m

ist eine Raute (gedrehtes Quadrat) im x-y-Koordinatensystem, die ihre Eckpunkte auf den Achsen hat.
Die

\infty

N o r m

ist ein Quadrat mit Mittelpunkt im Ursprung.

Deshalb habe ich ja gedacht, dass bei

∣ ∣ x ∣ ∣_{\infty} \leq 2

ein Quadrat entsteht, dass die Achsen bei 2 bzw. -2 jeweils schneidet.

Oh, ich bemerke gerade, dass dann das Quadrat aber Kantenlänge 4 hat, was dann bedeuten müsste, dass meine Grenzen von -4 bis +4 im Integral gehen, oder?

pleindespoir aktiv_icon

19:13 Uhr, 20.07.2013

So sehe ich das auch

CheNetzer aktiv_icon

20:00 Uhr, 20.07.2013

Ich nicht! Die am Ende aufgestellten Integrationsgrenzen sind falsch.

Die Ungleichung

∥ x ∥_{\infty} \leq 2

kann man für

x = (x_{1}, x_{2})

auch zu

∣ x_{1} ∣ \leq 2

∣ x_{2} ∣ \leq 2

umschreiben, was das ganze vielleicht etwas einfacher gestaltet.

pleindespoir aktiv_icon

20:38 Uhr, 20.07.2013

Ähhh - ja - natürlich!

Das Intervall ist 4 Einheiten lang, von -2 bis +2.

Wenn es von -4 bis +4 ginge, wären das ja 8 und das ist ganz klar etwas zuviel !

mac-user09 aktiv_icon

10:05 Uhr, 21.07.2013

Das heißt, dass meine Grenzen so sind, wie anfänglich gedacht? Also -2 bis 2?

Wäre das Integral dann
Also so:

\int_{- 2}^{2} f (x) = \int_{- 2}^{2} e^{x_{1}} d x_{1} = e^{2} - e^{- 2}

oder so zu lösen?:

\int_{- 2}^{2} \int_{- 2}^{2} f (x) = \int_{- 2}^{2} \int_{- 2}^{2} e^{x_{1}} d x_{1} d x_{2} = \int_{- 2}^{2} (e^{2} - e^{- 2}) d x_{2} = 2 (e^{2} - e^{- 2}) - (- 2 (e^{2} - e^{- 2})) = 4 (e^{2} - e^{- 2})

pleindespoir aktiv_icon

17:07 Uhr, 21.07.2013

Die Variante "oder so" wäre schon besser, weil da die weitere Dimension auch noch Einfluss nehmen kann. So hätte ich das auch gemacht, aber da ich nicht nobody bin, bin ich auch nicht perfect ...

mac-user09 aktiv_icon

18:53 Uhr, 21.07.2013

Das sollte dich nicht angreifen. Das wollte ich ganz bestimmt nicht.

Ich brauchte lediglich die Rückmeldung, was nun richtig ist.

Dann nehme ich die zweite Variante, da die dann ja richtig ist?!

pleindespoir aktiv_icon

19:47 Uhr, 21.07.2013

Ich hab mir nicht angegriffen gefühlt - wie kommst Du darauf ?

Bei der ersten Variante wird die zweite Dimension nicht berechnet, also fehlt was !

mac-user09 aktiv_icon

08:46 Uhr, 23.07.2013

Vielen Dank für eure Antworten.

Alles geklärt....

Bis zum nächsten Mal
Mac

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