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Integral- und Flächeninhaltbestimmung

Schüler Gymnasium,

Tags: Bestimmung, Funktion, Integral, Tangent, Tangentengleichung, x-Achse

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14:30 Uhr, 13.02.2016

Hallo,

Zeigen Sie: Für den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von

f

mit

f (x) = x^{3},

der Tangente an den Graph in

P (t, t^{3})

und der x-Achse eingeschlossen wird, gilt:

A (t) = \frac{1}{12} t^{4}, (t > 0)

.

Zuerst müsste man doch die Tangentengleichung aufstellen oder ?
Nur komme ich mit dem Punkt

P

nicht zurecht, da er

t

als Variable erhält und keine Zahlen.

Normalerweise :

m =

f´(x)

und dann einfach einsetzen, aber wie mache ich das hier ?

Und prüfe danach die Schnittstelle der Tangente mit der x-Achse ?

Wie löse ich diese Aufgabe überhaupt :-D) ?

Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Tangente / Steigung

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Matheboss aktiv_icon

14:48 Uhr, 13.02.2016

Du hast recht.
Die Steigung in

P (t | t^{3})

ist also

m = f' (t)

t

ist ein Parameter und wird wie eine ganz "normale Zahl" behandelt.

Deine Tangente enthält dann immer noch "t".

Also stelle Deine Tangente wie immer auf und berechne dann die Nullstelle.

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14:51 Uhr, 13.02.2016

Du musst vom Integral von

f (x)

in den Grenzen von 0 bis

t,

das Integral der Tangente vom Tangentenschnittpunkt mit der x-achse bis

t

abziehen.

Stelle die Tangentengleichung in Abhänggkeit von

t

auf und das berechne dann das genannte Integral.

Stephan4

15:15 Uhr, 13.02.2016

Tangente:

y = f' (t) \cdot x + d

P

einsetzen, um

d

zu berechnen.

\to d = - 2 t^{3}

Tangente:

y = 3 t^{2} \cdot x - 2 t^{3} = t^{2} (3 x - 2 t) \to N S : x = \frac{2}{3} t

Fläche unter

f

abzüglich Dreieck unter

t :

A = \int_{0}^{t} x^{3} d x - (t - \frac{2}{3} t) \cdot \frac{t^{3}}{2} = \frac{t^{4}}{12}

Bewiesen. Fertig.

:-)

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15:39 Uhr, 14.02.2016

1.Frage

Ist f´(t) = f´(x) ?

Also kann man einfach sagen dass

3 x^{2}

auch

3 t^{2}

sind ?

2. Frage

Bei dem Vereinfachen, nachdem man

d

bestimmt hat.

Das kapier ich noch nicht so richtig warum

3 t^{2} + x - 2 t^{2} = t^{2} (3 x - 2 t)

ist

3. Frage

Wie genau kommst du auf diese Inegralrechnung am Ende ?

Roman-22

18:27 Uhr, 14.02.2016

>

Ist f´(t) = f´(x) ?
Nein!

f' (x) = 3 \cdot x^{2}

und

f' (t) = f' (x) |_{x = t} = 3 \cdot t^{2}

So wie zB

f' (π) = f' (x) |_{x = π} = 3 \cdot π^{2}

oder

f' (4) = f' (x) |_{x = 4} = 3 \cdot 4^{2} = 48

>

Das kapier ich noch nicht so richtig warum

3 t^{2} + x - 2 t^{2} = t^{2} (3 x - 2 t)

ist
Das stimmt auch nicht und das hat auch niemand behauptet!
Vielmehr ist

3 t^{2} \cdot x - 2 t^{2} = t^{2} (3 x - 2 t)

indem man einfach

t^{2}

ausklammert.

>

Wie genau kommst du auf diese Inegralrechnung am Ende ?
Area51

R

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19:28 Uhr, 14.02.2016

1. habe ich verstanden

2. Schreibfehler meinerseits !
und verstanden

bei der Nullstellenbestimmung

wir haben ja

t^{2} (3 x - 2 t)

und da

t

eine Zahl ist können wir doch für die NST Berechnung sagen

(3 x - 2 t)

dann durch 3 teilen

- \to (x - (\frac{2}{3} t))

aber dann ist die Nullstelle doch negativ ?

3. Verstanden, wir ziehen das ganze Integral

(x^{3})

vom kleinen rechten Teil (t-(2/3t)ab. Nur warum multiplizieren wir dann mit

\frac{t^{3}}{2}

Roman-22

19:52 Uhr, 14.02.2016

>

warum multiplizieren wir dann mit

\frac{t^{3}}{2}

Weil

t^{3}

(Funktionswert, y-Wert) eben die Höhe des Dreiecks ist und die Fläche eines Dreiecks

u . a

. mit der Formel

G r u n d l i n e \cdot H o e h e \cdot \frac{1}{2}

berechnet werden kann.

R

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18:00 Uhr, 15.02.2016

Danke bis auf eine Frage ist nun alles beantwortet :-D)

Erstmal nochmal danke für die umfassende Hilfe

Nur :

t^{2} (3 x - 2 t) - \to

Warum ist die NST davon positiv ??? Die ist doch eigentlich negativ

\frac{3 x - 2 t}{3} - \to x - (\frac{2}{3} t) - \to

wenn

x

gleich null

- \to - \frac{2}{3} t

oder ? Oder fällt das minus einfach weg !?

Stephan4

20:23 Uhr, 15.02.2016

Die Nullstelle ist dort, wo

y = 0

und nicht, wo

x = 0

.

:-)

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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