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Integral und Gesamtänderung einer Größe

Schüler Gymnasium,

Tags: Integral, Intervall, momentane Änderungsrate

rebecca1507 aktiv_icon

13:53 Uhr, 14.01.2018

Wie berechnet man die Gesamtänderung einer Größe? Wir behandeln momentan das Thema Integralfunktion mit allem was dazu gehört. Ich verstehe das hier nicht ganz: "Ist

g

die momentane Änderungsrate einer Größe, dann kann man die Gesamtänderung

G (b) - G (a)

der Größe im Intervall

(a; b)

mit einem Integral berechnen:

G (b) - G (a) = \int_{a}^{b} f (t) d t

.
Könnte mir das bitte jemand erläutern mit einem Beispiel wenn möglich.
Vielen Dank im voraus!

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lineare Ungleichungen - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pivot aktiv_icon

15:15 Uhr, 14.01.2018

Hallo,

deine Frage ist ziemlich allgemein. Ich versuche es mal an einem Beispiel. Man kann z.B. annehmen, dass eine Bakterienkultur pro Zeiteinheit 0,1% vom aktuellen Bestand zunimmt. Diese Zeiteinheit muss in diesem Fall sehr klein sein um die Integralrechnung realistischer Weise anwenden zu können. Diese Zeiteinheit muss streng genommen fast

0

sein. Jetzt bezeichnet man

B (t)

als den Bestand der Bakterienkultur zum Zeitpunkt

t

. Bei dir wäre dies

G (t)

. Und die Änderungsrate der Bakterienkultur pro (sehr kleiner) Zeiteinheit als dB. Äquivalent ist die wird die Änderung der Zeit beizeichnet

d t

. Der Wert mit der sich die Bakterienkultur verändert hängt vom bisherigen Bestand (B(t)) ab. Er wächst mit der konstanten Rate

k

, hier

0, 1 %

. Jetzt stellt man eine Differentialgleichung auf:

\frac{d B}{d t} = k \cdot B

Gleichung mit dt multiplizieren

d B = k \cdot B d t

Durch B dividieren.

\frac{1}{B} d B = k d t

Jetzt auf beiden Seiten integrieren.

\int \frac{1}{B} d B = \int k d t

\ln (B) = k \cdot t + c

c ist die Integrationskonstante

Beide Seiten als Exponent von

e

(Eulersche Zahl) schreiben.

e^{\ln (B)} = e^{k \cdot t + c}

Nun die Exponentengesetze anwenden:

B = e^{k \cdot t} \cdot e^{c}

e^{c}

ist eine Konstante, die noch unbestimmt ist. Diese kann allgemein mit

C

ersetzt werden.

B (t) = C \cdot e^{k \cdot t}

Den Wert von C kann man jetzt noch bestimmen-mit einer Anfangsbedingung. So kann z.B. zum Zeitpunkt

t = 0

(zu Beginn) die Bakterienkultur die Anzahl von

B (0) = 1.000.000

Bakterien haben. Es ergibt sich die Gleichung

B (0) = C \cdot e^{k \cdot 0}

1.000.000 = C \cdot 1

Damit ist

C = 1.000.000

und die Gleichung für die Anzahl der Bakterien zum Zeitpunkt

t

mit

k = 0, 1 % = 0, 001

gleich

B (t) = 1.000.000 \cdot e^{0, 001 \cdot t}

Die Veränderung des Bakterienbestands zwischen den Zeitpunkten a und b ist die Differenz der Bakterienbestände zwischen den Zeitpunkten

a

und

b

, wobei

b > a > 0

ist.

B (b) - B (a) = 1.000.000 \cdot e^{0, 001 \cdot b} - 1.000.000 \cdot e^{0, 001 \cdot a}

Das entspricht bei Dir der rechten Seite

G (b) - G (a)

Gruß

pivot

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