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Integral unter Kreisfunktion

Schüler

Tags: Fläche berechnen, Integral, Kreisgleichung

andreadu aktiv_icon

22:19 Uhr, 11.02.2012

Hallo zusammen

Ich brauche Hilfe bei folgender Frage:

Gegeben ist der Kreis

K : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9

a)

Legen Sie vom Nullpunkt aus die Tangenten an den Kreis K. Geben Sie die Gleichungen und die Berührungspunkte an.

b)

Die in

a)

bestimmten Tangenten und der kürzere Kreisbogen begrenzen ein Flächenstück. Berechnen Sie seinen Inhalt.

c)

Geben Sie den Radius des grössten Kreises an, den Sie in das in

b)

beschriebene Flä-
chenstück einzeichnen können

Ich konnte

a)

lösen und habe bekommen:

Berührungspkt

T 1 : (0; \frac{96}{25}), T 2 : (4; \frac{28}{25})

Tangente

t 1 =

Y-Achse

t 2 : y = \frac{7}{25} \cdot x

Nun zu meiner Frage:

Wie kann ich die Fläche berechnen von

b)

? Kann man das Integral vom Kreis ziehen von 0 bis 4? Wenn ja, wie genau zieht man das Integral, muss man die Kreisgleichung umformen?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Aurel

00:10 Uhr, 12.02.2012

Hallo, ich hab jetzt

a)

nicht nachgerechnet, somit mit deinen Ergebnissen gleich zu

b)

Stelle die Kreisgleichung nach

y

um:

{(y - 4)}^{2} + {(x - 3)}^{2} = 9 \Leftrightarrow

y^{2} - 8 y + 16 + {(x - 3)}^{2} = 9 \Leftrightarrow

... ... ... ... .

mit pq-Formel:

y_{1,2} = 4 \pm \sqrt{16 - 7 - {(x - 3)}^{2}}

für die weitere Berechnung benötigen wir nur die untere Kreishälfte,
also die Funktion:

y (x) = 4 - \sqrt{16 - 7 - {(x - 3)}^{2}}

die gesuchte Fläche ist:

A = \int_{0}^{4} y (x) d x - \int_{0}^{4} \frac{7}{25} x d x

Atlantik aktiv_icon

10:04 Uhr, 12.02.2012

Die Berührpunkte stimmen nicht.

T_{1} (0 | 4)

und

T_{2} (\frac{96}{25} | \frac{28}{25})

\frac{y}{x} = \frac{\frac{28}{25}}{\frac{96}{25}} = \frac{28}{96} = 0,2916666670 \neq \frac{7}{25}

t_{2} : y = 0,2916666670 x

mfG

Atlantik

Bummerang

11:12 Uhr, 12.02.2012

Hallo,

ich mache mal

b)

nur als Arbeitsanleitung, da ich Deine oder Atlantik's Berührpunkte nicht nachprüfen will!

Die beiden Tangenten und die beiden Verbindungen der Berührpunkte mit dem Mittelpunkt bilden ein Viereck, das an den Berührpunkten jeweils einen rechten Winkel hat. Die beiden Tangenten durch den Ursprung (sofern sie korrekt berechnet wurden) haben einen Anstieg, dessen arctan dem Schnittwinkel mit der x-Achse entspricht. Mit den beiden Winkeln zur positiven x-Achse (die man aus den Schnittwinkeln berechnet) kann man den Winkel dieses Vierecks am Ursprung berechnen. Der vierte Winkel ergibt sich aus der Innenwinkelsumme von Vierecken. Mit diesem Winkel am Kreismittelpunkt kannst Du die Fläche des Kreissektors berechnen, der innerhalb des Vierecks liegt. Die Fläche des Vierecks berechnet man am einfachsten, indem man das Viereck noch mal halbiert indem man Ursprung und Kreismittelpunkt verbindet. Es ergeben sich zwei rechtwinklige Dreiecke, die jeweils das Spiegelbild des anderen sind. Damit ist ihre Fläche gleich. Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ergibt sich aus dem halben Produkt der Katheten. Deren Länge ist bei korrekt errechneten Berührpunkten leicht ermittelbar. Das Halbieren kann man sich schenken, da man ja die Fläche der beiden Dreiecke addieren muß und sich die 2 und die

\frac{1}{2}

wegkürzen. Also: Vierecksfläche bestimmen und Kreissektorfläche abziehen!

rundblick aktiv_icon

11:17 Uhr, 12.02.2012

b)

Die in

a)

bestimmten Tangenten und der kürzere Kreisbogen begrenzen ein Flächenstück.
Berechnen Sie seinen Inhalt."

diesen Teil der Aufgabe könntest du auch ganz einfach elementargeometrisch lösen:

Zeichne dir den Kreis um

M (3; 4), r = 3

Berührpunkt auf der y-Achse

: T_{1} (0; 4)

schau dir nun das rechtwinklige Dreieck

O M T_{1}

an

wenn du von dessen Fläche die Fläche des im Dreieck liegenden Kreissektors
Mittelpunktswinkel

α

mit

tan (α) = \frac{4}{3} \to α =

arctan

(\frac{4}{3}), .

α

im Bogenmass..
wegnimmst, dann bleibt gerade im Dreieck die Hälfte der Fläche

F,

die du berechnen sollst, übrig

also ist

F =

2*(Dreiecksfläche - Sektorfläche)

F = 2 \cdot (6 - 3 \cdot

arctan

(\frac{4}{3})) = ...

.

fertig

andreadu aktiv_icon

21:17 Uhr, 14.02.2012

Vielen Dank für alle eure Antworten. Mir gefällt die Antwort von Bumerang und Rundblick am besten, ich denke es ist unkomplizierter, die Fläche geometrisch zu berechnen.

Und tatsächlich, ich habe die Lösung der Schnittpunkte falsch vom Taschenrechner abgelesen, danke für den Hinweis, Atlantik!

T 1

ist also

(0; 4)

und

T 2 (\frac{96}{25}; \frac{28}{25})

.

Das Vorgehen ist mir soweit klar. Eine Rückfrage bleibt: wie genau berechne ich

α (=

Winkel TMO)?

Vielen Dank noch einmal für die Antworten und entschuldigt, dass ich so lange nicht mehr reagiert habe, aber am Samstag nach Mitternacht war ich dann doch nicht mehr mit Mathe beschäftigt gewesen...

andreadu aktiv_icon

21:29 Uhr, 14.02.2012

Ich habe den Winkel jetzt doch noch herausgefunden via Vektorberechunung und bin auf

α =

53.13°

= 0.927

gekommen.

Und somit ist die gesuchte Fläche

3.654

Ich hoffe das stimmt jetzt! Vielen Dank!!!

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