Integralberechnung von Brüchen

Hallo!

Ich habe große Schwierigkeiten, die nachfolgenden Integrale zu berechnen. Vielleicht kann mir ja jemand dabei helfen!

Danke im Voraus!

$$\begin{gathered} {\displaystyle \int \frac{1+\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{(1-\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>} \\ \int \frac{1-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{(1+2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>} \\ \int \frac{2\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-4\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+4}{(\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-3)}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>} \\ \int \frac{4\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-15\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+19}{\mathrm{x³<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-6\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+11\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-6}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>} \\ \int \frac{1/\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\sqrt{\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>} \\ \int \frac{5\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-4\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+8}{(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2)(\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+5)}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}} \end{gathered}$$

Hallo stargazey

ich blicke bereits bei deiner 1. Umformung nicht durch.

Mit meinen bescheidenen Alegbrakünsten sieht das eher so aus:

${\displaystyle \frac{1+\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{{1-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}=\frac{(1+\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}{(1+\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})(1-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}=\frac{1}{1-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Und das kannst du dann vielleicht ja integrieren.

Gruss

Paul

@Paulus: Das sind alles keine Umformungen sondern verschiedene Integrale wenn ich das richtig verstanden habe :)

Jedenfalls kannst du die alle oder die meisten (habe mir nicht alle angeschaut) mit ln x integrieren. Probiers mal so..

Hallo!

Ich wollte nur nochmal gerne wissen, ob ich folgendes Integral richtig berechnet habe:

${\displaystyle \int \frac{2\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-4\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+4}{\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-3}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Substitution von x²+2x-3 durch u

${\displaystyle \Rightarrow \int \frac{1}{\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Integralberechnung ${\displaystyle \Rightarrow \mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left|\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right|}$

Rücksubstitution ${\displaystyle \Rightarrow \mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}|\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-3|}$

Ist das so richtig?

Danke im Voraus!

hallo!

also, ich hab das nun mit der partialbruchzerlegung berechnet, aber woher kommt das 2x in deiner lösung? den rest habe ich auch als ergebnis erhalten.

und vor allem: woher weiß ich denn, wann ich welche integrationsmethode anzuwenden habe? ich denke nicht, dass die zeit in der klausur ausreicht, um alles einfach auszuprobieren. aber allgemeine "regeln" wirds wohl kaum geben, oder?!?

auf jeden fall schonmal ein großes dankeschön!

ps: hast du die 2 aus 2x²-4x+4 ausgeklammert und am Schluss "aufgeleitet"???

Hallo stargazey

die Integrationsmethode schnell ausfindig zu machen, ist nur Sache der Erfahrung.
Du musst also einfach üben, üben und nochmals üben, bis du ein Gespür dafür bekommst.

Selbstverständlich habe ich nicht einfach die 2 ausgeklammert, sondern die Partialbruchzerlegung angewendet. Und die besagt doch, dass man zunächst die Polynomdivision durchzuführen hat, bis der Grad des Polynoms im Nenner kleiner wird als jener des Zählers.

Weil in vorliegender Aufgabe der besagte Grad im Zähler und im Nenner den Wert 2 hat, muss zunächst einmal dividiert werden:

${\displaystyle ({2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-4\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1):({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-3)=2+\frac{-8\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+10}{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-3}}$

Weiter:

${\displaystyle =2+\frac{-8\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+10}{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-3}=2+\frac{1}{2}*\frac{1}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1}-\frac{17}{2}*\frac{1}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+3}}$

Und das kannst du integrieren.

Selbstverständlich habe ich zu Beginn geprüft, ob der Zähler nicht einen der Faktoren (x-1) oder (x+3) aufweist. Dann hätte ich gekürzt statt eine Polynomdivision zu machen.

Alles klar?

Gruss

Paul

ein ganz ganz herzliches dankeschön!!!

habs jetzt auch gelöst, und scheinbar auch richtig!

finds prima, dass die antworten auch immer so schnell gehen!

also nochmals danke!

Hallo stargazey

wie siehts mit den anderen Aufgaben aus? Brauchst du irgendwo noch Hilfe? Ich hätte im Moment gerade etwas Zeit.

Gruss

Paul

hallo!

ich schau mal, wie weit ich mit den übrigen aufgaben gekommen bin, lern grad mehrere sachen parallel... :-D

merci!

nabend!

also, die ersten 3 integrale hab ich dann noch berechnen können.

beim 4. kam ich zu folgender lösung (habe es auch über partialbruchzerlegung gemacht):

F(x)=4*ln${\displaystyle |\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1|}$-65*ln${\displaystyle |\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2|}$+5*ln${\displaystyle |\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-3|}$ Stimmt das denn soweit?

die beiden letzten integrale hab ich noch nicht angefangen...beim 5. würd ich einfach in

${\displaystyle \int \frac{1}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}*\frac{1}{\sqrt{\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ trennen und dann mit der partiellen integration weiter machen...sofern dies alles überhaupt im bereich des möglichen liegt! :-D

auweh...langsam schwirrt mir der kopf...

Hallo stargazey

ja, wenn du statt der 65 eine 5 nimmst. Ist sicher nur ein Tippfehler.

Die 5. Aufgabe geht tatsächlich so, wie du es vorgeschlagen hast.

Es geht auch mittels Substitution:

${\displaystyle \mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\sqrt{\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}}$

Also ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{{\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}}$ ;  ${\displaystyle \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={2\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{{\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Gruss

Paul

Hallo!

also, ich hab jetzt nochmal in meinen büchern nachgeschaut:

dort ist ein ähnlicher term auf diese art und weise integriert:

${\displaystyle \int \frac{1}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}|\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}|}$

kann man das nicht auch auf das integral mit ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ anwenden? 

dann wäre das ergebnis ja: ${\displaystyle \mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left|\sqrt{\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right|}$

denn mit der partiellen integration bin ich nicht weiter gekommen.

mfg

stargazey

Hallo stargazey

nein, diesen Ausdruck kannst du nicht einfach so übernehmen.

Der gründet nämlich darauf, dass eine Stammfunktion von f'(x)/f(x) stets der nat. Logarithmus von |f(x)| ist.

Integral von 1/x kannst du auch in diese Kategorie nehmen. (1 ist die 1. Ableitung von x.)

Partielle Integration:

${\displaystyle \int (\frac{1}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}*\frac{1}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\sqrt{\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}})\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)*\frac{1}{\sqrt{\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}}-\int (\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)*\frac{-1}{2\sqrt{\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}*\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}*\frac{1}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}})\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Dabei ist zu beachten: äussere Ableitung mal innere Ableitung.

Das kann weiter vereinfacht werden zu:

${\displaystyle \int \frac{1}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{1}{\sqrt{\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\sqrt{\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}+\frac{1}{2}\int \frac{1}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\sqrt{\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Nun kannst du einfach das Integral rechterhand auf die linke Seite "subtrahieren":

${\displaystyle \frac{1}{2}\int \frac{1}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{1}{\sqrt{\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\sqrt{\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}}$

Und damit:

${\displaystyle \int \frac{1}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{1}{\sqrt{\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=2\sqrt{\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}}$

Alles klar?

Bei Bedürfnis zeige ich auch noch die Substitutionsmethode, muss jetzt aber sofort weg, in den Schachclub.

Gruss

Paul