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Integralgrenzen bei Differentialgleichungen

Universität / Fachhochschule

Tags: Differentialgleichung, Integral

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19:19 Uhr, 12.05.2019

Wenn ich eine Differentialgleichung

y ʹ = - \frac{y}{x}

mit

y = φ (x)

durch Integration von

f (x) = - \frac{1}{x}

und

g (y) = y

lösen will, wie bestimme ich dann die Integralgrenzen?

F (x) = \int_{⋆_{1}}^{x} f (t) d t

G (y) = \int_{⋆_{2}}^{y} \frac{d t}{g (t)}

Die Sterne

⋆_{i}

stehen für die mir unbekannten Integralgrenzen.
Und sind die oberen Integralgrenzen immer

x

und

y

?

Frage 2:
Mir ist aufgefallen, dass bei Differentialgleichungen desöfteren die Rede ist von "Richtungsfeldern" und "Richtungsvektoren". Was bedeuten diese Begriffe?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

rundblick aktiv_icon

19:33 Uhr, 12.05.2019

.
Bei der Lösung von Differentialgleichungen geht es nicht um bestimmte Integrale ..

da sind also Intgrationsgrenzen kein Thema - du wirst die Lösungsmenge mit einer
Integrationskonstanten bekommen
(diese kann dann zB mit einer Anfagsbedingung festgelegt werden)

dein Beispiel:

\to y' = - \frac{y}{x} ... \Rightarrow . .

y = \frac{c}{x} . .

. mit

c \in ℝ

ok?
.

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19:47 Uhr, 12.05.2019

Wenn die Integrationsgrenzen also egal sind, dann ist doch

\int \frac{d t}{g (t)} = l n (g (t)) = l n (y)

.
und

\int f (t) d t = \int - \frac{1}{t} d t = - l n (x)

Dann müsste man das y erhalten durch

l n (y) = - l n (x)

y = \frac{1}{x}

Wo ist das c?

rundblick aktiv_icon

20:06 Uhr, 12.05.2019

.
"Wo ist das c?"

kann es wirklich sein, dass du noch nicht davon gehört hast, dass bei unbestimmter
Integration eine Integrationskonstante wichtiger Bestandteil ist ?

Beispiel

: \int \frac{1}{x} d x = ln | x | + C ...

. (Tipp: probe durch Ableitung )

Lösung bei deiner Aufgabe

\to ln | y | = - ln | x | + C_{1} = ln | \frac{1}{x} | + C_{1} = ln | \frac{c}{x} |

also

\Rightarrow y = \frac{c}{x} ...

. Tipp: mach die Probe mit deiner DGL

\to y' = - \frac{y}{x}

ok?

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20:16 Uhr, 12.05.2019

l n (∣ \frac{1}{x} ∣) + C_{1} = l n (∣ \frac{c}{x} ∣)

???
Ich verstehe das nicht...

Und kommt beim integrierten g(y) nicht auch noch ein

+ C

hin?

Gibt es wirklich keine Möglichkeit mit Integralgrenzen?

rundblick aktiv_icon

20:49 Uhr, 12.05.2019

.
"Und kommt beim integrierten

g (y)

nicht auch noch ein

+ C

hin?"

->ja,aber wenn links und rechts der Gleichung je eine beliebige reelle Konstante herumsteht,
dann kannst du doch eine auf die andere Seite bringen und mit der dortigen Konstanten
zu einer neuen bel. Konstanten zusammenfassen

\to

einverstanden ? .. es braucht also nur eine Konstante auf einer der beiden Seiten.

ln | y | = ln | \frac{1}{x} | + C_{1}

...

. irgend ein

C_{1} \in ℝ

kannst du schreiben als

ln | c | .

. mit

c \neq 0 \in ℝ

also:

ln | y | = ln | \frac{1}{x} | + ln | c | . . \Rightarrow

ln | y | = ln | \frac{c}{x} | .

\Rightarrow

y = \frac{c}{x}

jetzt hoffentlich klar ?

"Gibt es wirklich keine Möglichkeit mit Integralgrenzen?"

du ermittelst als Lösungen

\to

unbestiimmte Intgrale .. also Funktionen zB von

x

\to

wenn du ein bestimmtes Integral mit

f e s t e n

Intgrationsgrenzen hast,
dann ist das schlicht ja nur eine Konstante
(also sicher keine allgemeine Lösungsfunktion einer DGL)

wenn du halt eine Lösung mit Integrationsgrenzen haben willst,
dann müsste eine Grenze eine Variable sein :
nun denn..dann sind zB die oberen Integralgrenzen

x

bzw.

y .

.
und die festen unteren Grenzen ergäben dann die Integrationskonstante..

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

und noch dazu:
"Frage 2:
Mir ist aufgefallen, dass bei Differentialgleichungen desöfteren die Rede ist von "Richtungsfeldern" und "Richtungsvektoren". Was bedeuten diese Begriffe?"

\to

durch eine DGL zB der Form

y' = f (x, y)

ist jedem Punkt

(x, y)

der Ebene eine
"Richtung" zugeordnet (dh die Steigung der Tangente, mit der eine Lösungskurve
durch den Punkt

(x, y)

durchgeht)

Wenn du nun bei jedem Punkt der Ebene kleine "Linienelemente"="Richtungsvektoren"
einzeichnest, dann bekommst du ein "Richtungsfeld" und kannst darin zB irgndwelche
Lösungskurven graphisch einpassen..

Mach das zB mal für deine DGL->

y' = - \frac{y}{x}

\to

Beispiel: im Punkt

(6; 3)

ist

y' = - 2

weitere Punkte der Ebene, die von den Lösungskurven mit der Steigung

- 2

durchlaufen
werden, liegen auf der "Isoklinen"

y - 2 \cdot x .

. usw, usw
schlag doch selbst mal nach zu den Stichworten

. .

.
ok?

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07:30 Uhr, 13.05.2019

Danke für die Antworten.

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