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Integralkern Konvergenz Beweis

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Analysis, Funktionalanalysis, Integral, Kern, kompakt, MATH, Mathematik

xam193 aktiv_icon

01:41 Uhr, 08.12.2022

Hallo!

Im Folgenden geht es um einen Ausschnitt aus einem Beweis, den ich gerne nachvollziehen würde. Es sei

K : Ω_{1} \times Ω_{2} \to I K

,

Lebesgue messbar wobei

I K \in {ℝ, ℂ}

und

Ω_{1} \times Ω_{2} \subset ℝ^{n_{1}} \times ℝ^{n_{2}}

mit

n_{1}, n_{2} \in ℕ

. Außerdem sei für

1 \leq p, p^{'}, q < \infty

mit

\frac{1}{p} + \frac{1}{p^{'}} = 1

∣ ∣ K ∣ ∣_{Ω_{1} \times Ω_{2}} := {(\int_{Ω_{1}} {(\int_{Ω_{2}} ∣ K (x, y) ∣^{p^{'}} d y)}^{\frac{q}{p^{'}}} d x)}^{\frac{1}{q}} < \infty

Die Funktion

K

fungiert in dem Rahmen des zu beweisenden Satzes als Integralkern.
Jetzt wird

K

außerhalb von

Ω_{1} \times Ω_{2}

durch

0

fortgesetzt. Es gilt nun zu zeigen, dass

\int_{ℝ^{n_{1}}} {(\int_{ℝ^{n_{2}}} ∣ K (x + h, y) - K (x, y) ∣^{p^{'}} d y)}^{\frac{q}{p^{'}}} d x \to 0

für

h

gegen

0

.

Das ist ja gerade

∣ ∣ K^{h} - K ∣ ∣_{ℝ^{n_{1}} \times ℝ^{n_{2}}}^{q}

, wobei

K^{h} := K (\cdot + h, y)

. Bedeutet es ist zu zeigen, dass

∣ ∣ K^{h} - K ∣ ∣_{ℝ^{n_{1}} \times ℝ^{n_{2}}} \to 0

für

h \to 0

.

(Im Folgenden schreibe ich

∣ ∣ \cdot ∣ ∣

anstatt

∣ ∣ \cdot ∣ ∣_{ℝ^{n_{1}} \times ℝ^{n_{2}}}

.) Gibt es vielleicht eine Möglichkeit, dies kurz und knapp zu begründen auch, wenn man vielleicht eine weitere Eigenschaft von

K

fordert? Mit kurz und knapp meine ich hauptsächlich kürzer als in dem Buch. In dem Buch wird gesagt: Nun approximieren wir

K

durch beschränkte Kerne mit kompaktem Träger

K_{R} (x, y) = K (x, y),

falls

∣ x ∣ \leq R

und

∣ y ∣ \leq R

und

∣ K (x, y) ∣ \leq R

und

K_{R} (x, y) = 0,

sonst.

Dann wird die Menge

E_{R} := {(x, y) \in ℝ^{n_{1}} \times ℝ^{n_{2}} ∣ K_{R} (x, y) \neq K (x, y)}

definiert und es wird gesagt: Dann gilt

∣ K^{h} - K ∣ \leq ∣ (K_{R})^{h} - K_{R} ∣ + ∣ (χ_{E_{R}} K)^{h} ∣ + ∣ χ_{E_{R}} K ∣,

was ich schon nicht verstehe. Warum Betrag? Und nicht Norm?

χ

sollte hier die Charakteristische Funktion sein, denke ich. Jedoch kann ich die Ungleichung auch dann nicht nachvollziehen... Daraus wird nun sofort gefolgert, dass

∥ K^{h} - K ∥ \leq C (∥ (K_{R})^{h} - K_{R} ∥ + ∥ χ_{E_{R}} K ∥),

was mir ebenfalls unschlüssig erscheint... Es wird nun gesagt, dass

∥ χ_{E_{R}} K ∥ \to 0

für

R \to \infty

, da

E_{R^{'}} \subset E_{R}

für

R^{'} > R

und

⋂_{R > 0} E_{R}

eine Nullmenge ist. Diesen Teil kann ich tatsächlich nachvollziehen. Außerdem wird danach bewiesen, dass

∥ (K_{R})^{h} - K_{R} ∥ \to 0

für

R \to \infty

, was jedoch wieder ein weiteres Fass aufmachen würde...

Da ich mich dazu entschieden habe, diesen Beweis in einen Vortrag mit reinzunehmen, welcher aber "nur" 45 min. dauern soll und in welchem ich auch noch viele andere Dinge beweisen möchte und weil dieser Ausschnitt des Beweises nur etwa 30% des Beweises in Bezug auf Zeit ausmacht, würde ich diesen Teil gerne etwas abkürzen. Das fällt mir aber schwer...

Vielleicht hat ja jemand von euch eine Idee, wie ich die Konvergenz

∣ ∣ K^{h} - K ∣ ∣ \to 0

für

h \to 0

durch ein anderes, kürzeres Argument, welches meinetwegen vielleicht noch eine weitere Eigenschaft von

K

fordert, begründen kann.

Vielen Dank und liebe Grüße, Max.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

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Punov aktiv_icon

12:02 Uhr, 09.12.2022

Hallo, xam193!

Ich finde den Beweis eigentlich ganz charmant.

Was die Ungleichung

∣ K^{h} - K ∣ \leq ∣ (K_{R})^{h} - K_{R} ∣ + ∣ (χ_{E_{R}} K)^{h} ∣ + ∣ χ_{E_{R}} K ∣

betrifft, so werden hier die Absolutbeträge benutzt, weil du den Integranden des Integraloperators abschätzen willst und damit dann die Norm.

Um die Ungleichung zu sehen, musst du die Definitionen von

K_{R}

und

E_{R}

berücksichtigen.

Es können verschiedene Fälle auftreten:

(1)

(x, y) \notin E_{R}

und

(x + h, y) \notin E_{R}

In diesem Fall gilt

K_{R} = K

und

(K_{R})^{h} = K^{h}

sowie

(χ_{E_{R}} K)^{h} = 0

und

χ_{E_{R}} K = 0

, demnach

∣ K^{h} - K ∣ = ∣ (K_{R})^{h} - K_{R} ∣

.

(2)

(x, y) \in E_{R}

und

(x + h, y) \notin E_{R}

Dann gilt

(K_{R})^{h} = K^{h}

und

K_{R} = 0

, daher

∣ K^{h} - K ∣ \leq ∣ K^{h} ∣ + ∣ K ∣ = ∣ (K_{R})^{h} ∣ + ∣ K ∣ = ∣ (K_{R})^{h} - K_{R} ∣ + ∣ χ_{E_{R}} K ∣

.

(3)

(x, y) \notin E_{R}

und

(x + h, y) \in E_{R}

Das geht analog zum vorherigen Fall (nur mit umgetauschten Rollen von

K_{R}

und

(K_{R})^{h}

.

(4)

(x, y) \in E_{R}

und

(x + h, y) \in E_{R}

In diesem Fall gilt

∣ (K_{R})^{h} - K_{R} ∣ = 0

, da

(K_{R})^{h} = K_{R} = 0

. Somit gilt einfach

∣ K^{h} - K ∣ \leq ∣ K^{h} ∣ + ∣ K ∣ = ∣ (χ_{E_{R}} K)^{h} ∣ + ∣ χ_{E_{R}} K ∣

.

Insgesamt gilt also die behauptete Ungleichung.

Was die Schlussfolgerung

∥ K^{h} - K ∥ \leq C (∥ (K_{R})^{h} - K_{R} ∥ + ∥ χ_{E_{R}} K ∥)

betrifft, bedenke, dass

K_{R}

beschränkt ist und

K (x, \cdot), K (x + h, \cdot) \in L^{p ʹ} (ℝ^{n_{2}})

xam193 aktiv_icon

16:23 Uhr, 09.12.2022

WOW! Vielen vielen Dank für die Antwort! Ich hab's nun verstanden :-)

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