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Integralkern Konvergenz Beweis

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Analysis, Funktionalanalysis, Integral, Kern, kompakt, MATH, Mathematik

 
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xam193

xam193 aktiv_icon

01:41 Uhr, 08.12.2022

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Hallo!

Im Folgenden geht es um einen Ausschnitt aus einem Beweis, den ich gerne nachvollziehen würde. Es sei

K:Ω1×Ω2IK,

Lebesgue messbar wobei IK{,} und Ω1×Ω2n1×n2 mit n1,n2. Außerdem sei für 1p,p,q< mit 1p+1p=1

KΩ1×Ω2:=(Ω1(Ω2K(x,y)pdy)qpdx)1q<

Die Funktion K fungiert in dem Rahmen des zu beweisenden Satzes als Integralkern.
Jetzt wird K außerhalb von Ω1×Ω2 durch 0 fortgesetzt. Es gilt nun zu zeigen, dass

n1(n2K(x+h,y)-K(x,y)pdy)qpdx0

für h gegen 0.

Das ist ja gerade Kh-Kn1×n2q, wobei Kh:=K(+h,y). Bedeutet es ist zu zeigen, dass Kh-Kn1×n20 für h0.

(Im Folgenden schreibe ich anstatt n1×n2.) Gibt es vielleicht eine Möglichkeit, dies kurz und knapp zu begründen auch, wenn man vielleicht eine weitere Eigenschaft von K fordert? Mit kurz und knapp meine ich hauptsächlich kürzer als in dem Buch. In dem Buch wird gesagt: Nun approximieren wir K durch beschränkte Kerne mit kompaktem Träger

KR(x,y)=K(x,y), falls xR und yR und K(x,y)R und KR(x,y)=0, sonst.

Dann wird die Menge ER:={(x,y)n1×n2KR(x,y)K(x,y)} definiert und es wird gesagt: Dann gilt

Kh-K(KR)h-KR+(χERK)h+χERK,

was ich schon nicht verstehe. Warum Betrag? Und nicht Norm? χ sollte hier die Charakteristische Funktion sein, denke ich. Jedoch kann ich die Ungleichung auch dann nicht nachvollziehen... Daraus wird nun sofort gefolgert, dass

Kh-KC((KR)h-KR+χERK),

was mir ebenfalls unschlüssig erscheint... Es wird nun gesagt, dass χERK0 für R, da ERER für R>R und R>0ER eine Nullmenge ist. Diesen Teil kann ich tatsächlich nachvollziehen. Außerdem wird danach bewiesen, dass (KR)h-KR0 für R, was jedoch wieder ein weiteres Fass aufmachen würde...

Da ich mich dazu entschieden habe, diesen Beweis in einen Vortrag mit reinzunehmen, welcher aber "nur" 45 min. dauern soll und in welchem ich auch noch viele andere Dinge beweisen möchte und weil dieser Ausschnitt des Beweises nur etwa 30% des Beweises in Bezug auf Zeit ausmacht, würde ich diesen Teil gerne etwas abkürzen. Das fällt mir aber schwer...

Vielleicht hat ja jemand von euch eine Idee, wie ich die Konvergenz Kh-K0 für h0 durch ein anderes, kürzeres Argument, welches meinetwegen vielleicht noch eine weitere Eigenschaft von K fordert, begründen kann.

Vielen Dank und liebe Grüße, Max.



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
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Punov

Punov aktiv_icon

12:02 Uhr, 09.12.2022

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Hallo, xam193!

Ich finde den Beweis eigentlich ganz charmant.

Was die Ungleichung

Kh-K(KR)h-KR+(χERK)h+χERK

betrifft, so werden hier die Absolutbeträge benutzt, weil du den Integranden des Integraloperators abschätzen willst und damit dann die Norm.


Um die Ungleichung zu sehen, musst du die Definitionen von KR und ER berücksichtigen.

Es können verschiedene Fälle auftreten:

(1) (x,y)ER und (x+h,y)ER

In diesem Fall gilt KR=K und (KR)h=Kh sowie (χERK)h=0 und χERK=0, demnach

Kh-K=(KR)h-KR.

(2) (x,y)ER und (x+h,y)ER

Dann gilt (KR)h=Kh und KR=0, daher

Kh-KKh+K=(KR)h+K=(KR)h-KR+χERK.

(3) (x,y)ER und (x+h,y)ER

Das geht analog zum vorherigen Fall (nur mit umgetauschten Rollen von KR und (KR)h.

(4) (x,y)ER und (x+h,y)ER

In diesem Fall gilt (KR)h-KR=0, da (KR)h=KR=0. Somit gilt einfach

Kh-KKh+K=(χERK)h+χERK.


Insgesamt gilt also die behauptete Ungleichung.

Was die Schlussfolgerung

Kh-KC((KR)h-KR+χERK)

betrifft, bedenke, dass KR beschränkt ist und K(x,),K(x+h,)Lpʹ(n2).



Frage beantwortet
xam193

xam193 aktiv_icon

16:23 Uhr, 09.12.2022

Antworten
WOW! Vielen vielen Dank für die Antwort! Ich hab's nun verstanden :-)