Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Integralrechnung Ganz wichtig!!

Integralrechnung Ganz wichtig!!

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Integral

Aline89 aktiv_icon

13:38 Uhr, 16.02.2009

Hey ihr lieben
Ich bin grad durch Zufall auf diese Seite gelangt und benötige ganz dringend eure Hilfe..
Es geht um die Integralrechnung.
Wir haben dieses Thema gerade angefangen und ich habe jetzt schon Probleme damit:(

Wir haben eine Aufgabe bekommen, und zwar sollen wir die Ober

, -

und Untersumme von

f (x) =

x³ berechnen.
Hört sich nicht schwer an, aber ich versteh überhaupt nicht, wie ich dort anfangen soll:(

Kann mir jmd helfen??
Wäre echt sehr lieb von euch.

Vielen Dank schonmal

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Edddi aktiv_icon

14:09 Uhr, 16.02.2009

...gesucht ist die Fläche unter der Funktion

y = x^{3}

zwischen

x_{0}

und

x_{1}

mit

0 \leq x_{0} < x_{1}

Die Untersumme erhälst du aus den Streifenflächen der einzelnen Funktionswerte mit einem Intervall aus

δ x .

S_{u} = \frac{x_{1} - x_{0}}{n} \cdot \sum_{i = 0}^{n - 1} f (x_{0} + i \cdot \frac{x_{1} - x_{0}}{n})

oder mit

\frac{x_{1} - x_{0}}{n} = δ x

S_{u} = δ x \cdot \sum_{i = 0}^{n - 1} f (x_{0} + i \cdot δ x)

analog die Obersumme:

S_{o} = \frac{x_{1} - x_{0}}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} f (x_{0} + i \cdot \frac{x_{1} - x_{0}}{n})

oder mit

\frac{x_{1} - x_{0}}{n} = δ x

S_{o} = δ x \cdot \sum_{i = 1}^{n} f (x_{0} + i \cdot δ x)

Der Grenzübergang für

δ x \to 0

führt zu:

lim_{δ x \to 0} S_{u} = lim_{δ x \to 0} S_{o} = δ x \cdot \sum_{i = 0}^{n - 1} f (x_{0} + i \cdot δ x) = δ x \cdot \sum_{i = 1}^{n} f (x_{0} + i \cdot δ x) = \int_{x_{0}}^{x_{1}} F (x) \cdot d x

...hab' zum besseren Verständnis Zeichnung rangehangen...

:-)

Aline89 aktiv_icon

14:13 Uhr, 16.02.2009

Hey Edddi

Schonmal vielen vielen Dank für die Antwort.
Leider weiß ich nicht, was das Zeichen unter dem

n - 1

bedeutet und das "i" in der Klammer könnte man praktisch doch weglassen oder( da es ja eh 0 ist?)

Aline89 aktiv_icon

14:15 Uhr, 16.02.2009

Ich blick da überhaupt nicht durch..
wir sollten das in einem intervall von 0 bis

b

machen glaub ich udn wir hatetn das immer mit

(\frac{b}{n}

oder

\frac{1}{b}

usw..)

ist das die allgemeine Lösung oder schon auf x³ angewendet?
Denn da muss ja eine Zahl rauskommen oder nicht?
Also wie groß der Flächeninhalt im Endeffekt ist??

Aline89 aktiv_icon

14:21 Uhr, 16.02.2009

Muss man das nicht aufleiten??
das da dann raus kommt: F(0)-F(b)
1/4 *0^4 = 1/4 b^4
-1/4 b^4
1/4 b^4

nur leider weiß ich gar nicht wie man auf die 1/4 kommt:(
und wie man da vorgehen muss:(

tony-marony aktiv_icon

14:25 Uhr, 16.02.2009

also meiner meinung nach must du wenn du die fläche unter x³ bestimmen willst, x³ integrieren, also

\frac{x^{4}}{4}

oder wie du es geschrieben hast

\frac{1}{4} x^{4},

und dnan würd ich einfahc die grenzen für

x

einsetzen also

b

und die andere

und wenn du das eingesetzt hast ganz richtig wie du shcon gesagt hast halt von einander abziehen

Rentnerin

14:34 Uhr, 16.02.2009

Hallo,

sollt ihr nun die Ober- und Untersumme berechnen oder den Flächeninhalt unter der Kurve (oder beides)?

Gruß Rentnerin

Edddi aktiv_icon

14:42 Uhr, 16.02.2009

Deine Ober-

u

. Untersummen rechnest du mit diskreten n-Werten aus.

Mittels unendlichen Reihen ist es dir sogar möglich auf den genauen Flächeninhalt zu erhalten. (Es gibt auch Funktionen, wo du schon mittels den diskreten Werten auf die genaue Fläche kommst

. .

. zB.

y = 5 . .

. da es hier genaue Rechtecke werden)

Ansonsten wird über das bestimmte Integral die Fläche berechnet.

Für deine Funktion

y = x^{3}

im Intervall

[0; b]

erhälst du:

S_{u} = \frac{b}{n} \cdot \sum_{i = 0}^{n - 1} {(i \cdot \frac{b}{n})}^{3}

S_{u} = (\frac{b}{n}) \cdot b^{3} \cdot \sum_{i = 0}^{n - 1} {(\frac{i}{n})}^{3}

S_{u} = b^{4} \cdot \frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 0}^{n - 1} {(\frac{i}{n})}^{3}

für

n \to \infty

gilt:

lim_{n \to \infty} S_{u} = b^{4} \cdot \frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 0}^{n - 1} {(\frac{i}{n})}^{3}

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 0}^{n - 1} {(\frac{i}{n})}^{3} = \frac{n}{4}

ist:

lim_{n \to \infty} S_{u} = b^{4} \cdot \frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 0}^{n - 1} {(\frac{i}{n})}^{3} = b^{4} \cdot \frac{1}{n} \cdot \frac{n}{4} = \frac{1}{4} \cdot b^{4}

...ansonsten übers Integral...

Rentnerin

14:56 Uhr, 16.02.2009

@ Edddi,

steht Dein angegebener Grenzwert

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 0}^{n - 1} (\frac{i}{n})^{3} = \frac{n}{4}

in irgendeiner Formelsammlung? Wie kann eigentlich auf der rechten Seite

n

stehen bleiben?

Edddi aktiv_icon

15:04 Uhr, 16.02.2009

...kicher...kicher...nööööööö... steht mit Sicherheit in keinem Tafelwerk.

Aber das muss der Grenzwert sein...da ich ja das Ergebnis übers Integral schon kenne.

...ich wollte damit ja auch nur das Verfahren schrittweise verdeutlichen...das der Grenzübergang dann zur Fläche führt.

...Für einige Funktionen sind ja Grenzwerte für die unendlichen Reihen bekannt, und man könnte über diesen Weg über die unendlichen Reihen genau die Fläche berechnen.

Natürlich ist das über's Integral einfacher.

Über diese beidseitige Herleitung des Grenzwertes könnte man sicher noch eine Menge andere unendliche Reihen lösen, wa?

:-)

Rentnerin

15:12 Uhr, 16.02.2009

Wäre es dann nicht "günstiger", die

\frac{n}{4}

mit negativem Vorzeichen auf die linke Seite zu bringen, und dann den Grenzwert mit 0 "festzulegen" (weil dann kein n mehr im Ergebnis vorhanden ist)?

Übrigens: Man kann auch ganz einfach Unter- und Obersummen für diese Funktion ganz konkret angeben.

Edddi aktiv_icon

15:21 Uhr, 16.02.2009

...wenn ich die

\frac{n}{4}

auf die andere Seite bringe....hilft's mir dann weiter, die unendliche Reihe zu lösen?

...Was meinst du mit der genauen Berechnung der Ober-

u

. Untersummen?
...meinst du die Berechnung mittels einem endlichen

n,

um etwas wie

S_{u} < A < S_{o}

zu erhalten?

:-)

Aline89 aktiv_icon

15:21 Uhr, 16.02.2009

Hey

Danke für eure Antworten

Jetzt bin ich völlig durcheinander, da ich teilweise gar nicht verstehe, WIE die einzelnen Schritte entstanden sind..

Was bedeutet das Zeichen in deiner Ersten Antwort Edddi, vor der Klammer, diese Art "Z"?

Rentnerin

15:28 Uhr, 16.02.2009

Nich bei der unendlichen Reihe! Wegen

lim = 0

darfst Du Deinen Summenterm durch

\frac{n}{4}

in Deiner

S_{u}

annähern und dann weiterrechnen, während Du bei

lim_{n \to \infty} . . . . =

auf der rechten Seite kein n mehr haben darfst.

Ja, mit konkret meine ich die Flächeninhaltsabschätzung in Abhängigkeit von n.

BjBot aktiv_icon

15:36 Uhr, 16.02.2009

Mal eine kleine didaktische Anregung:

Aline geht in die 12. Klasse, meint ihr es ist sinnvoll dann mit Reihen, Abschätzungen, Summenzeichen...etc zu kommen ? Sowas hatte ich zu der Zeit sicher noch nicht. Man kann es doch problemlos auch "schülergerecht" erklären oder ?

Gruß Björn

Aline89 aktiv_icon

15:39 Uhr, 16.02.2009

Ja, ich blick da langsam echt nicht mehr durch

Ja, ich geh in die 12. Klasse und wir haben gerade erst mit dem Thema angefangen..
wenn ich jetzt also "aufgeleitet" habe wär das ja 1/4 x^4
welche Zahlen muss ich jetzt da einsetzen?
Einmal 0 und dann b oder wie??

und was von wem abziehen??

Edddi aktiv_icon

15:49 Uhr, 16.02.2009

@ Rentenerin:

okay...ist logisch... also nehm' ich mein

\frac{1}{n}

vor dem Summenzeichen mit rein.
Ich erhalte dann eben:

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 0}^{n - 1} {(\frac{i}{n^{4}})}^{3} = \frac{1}{4}

...eine wunderschööööne Reihe

...so und nun mal zu der Fragestellerin:

..das komische "Z" ist ein griechischer Buchstabe "Sigma"

. .

. und steht für Summe.

Also nehmen wir mal ein konkretes Beispiel für deine Ober-

u

. Untersumme:

Deine Untersumme ensteht aus dem Inhalt folgender Rechtecke

S_{u} = [\frac{b}{5} \cdot 0] + [\frac{b}{5} \cdot {(\frac{b}{5})}^{3}] + [\frac{b}{5} \cdot {(2 \cdot \frac{b}{5})}^{3}] + [\frac{b}{5} \cdot {(3 \cdot \frac{b}{5})}^{3}] + [\frac{b}{5} \cdot {(4 \cdot \frac{b}{5})}^{3}]

\frac{b}{5}

ausklammern:

S_{u} = \frac{b}{5} \cdot [(0^{3}) + {(\frac{b}{5})}^{3} + {(2 \cdot \frac{b}{5})}^{3} + {(3 \cdot \frac{b}{5})}^{3} + {(4 \cdot \frac{b}{5})}^{3}]

S_{u} = \frac{b}{5} \cdot [{(\frac{b}{5})}^{3} \cdot (1 + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3})]

S_{u} = \frac{b^{4}}{5^{4}} \cdot (1 + 2^{2} + 3^{3} + 4^{3})

S_{u} = \frac{b^{4}}{5^{4}} \cdot (100)

S_{u} = \frac{100}{625} \cdot b^{4}

Analog deine Obersumme:

S_{o} = [\frac{b}{5} \cdot {(\frac{b}{5})}^{3}] + [\frac{b}{5} \cdot {(2 \cdot \frac{b}{5})}^{3}] + [\frac{b}{5} \cdot {(3 \cdot \frac{b}{5})}^{3}] + [\frac{b}{5} \cdot {(4 \cdot \frac{b}{5})}^{3}] + [\frac{b}{5} \cdot {(5 \cdot \frac{b}{5})}^{3}]

\frac{b}{5}

ausklammern:

S_{o} = \frac{b}{5} \cdot [{(\frac{b}{5})}^{3} + {(2 \cdot \frac{b}{5})}^{3} + {(3 \cdot \frac{b}{5})}^{3} + {(4 \cdot \frac{b}{5})}^{3} + {(5 \cdot \frac{b}{5})}^{3}]

S_{o} = \frac{b}{5} \cdot [{(\frac{b}{5})}^{3} \cdot (1 + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} + 5^{3})]

S_{o} = \frac{b^{4}}{5^{4}} \cdot (1 + 2^{2} + 3^{3} + 4^{3} + 5^{3})

S_{o} = \frac{b^{4}}{5^{4}} \cdot (225)

S_{o} = \frac{225}{625} \cdot b^{4}

\frac{100}{625} \cdot b^{4} < A < \frac{225}{625} \cdot b^{4}

0,16 \cdot b^{4} < A < 0,36 \cdot b^{4}

...und je größer du

n

wählst, desto genauer kommst du an den Flächeninhalt...

:-)

Edddi aktiv_icon

15:52 Uhr, 16.02.2009

...bei der Aufleitung

\frac{x^{4}}{4}

setzt du die Grenzen wie folgt ein:

\frac{x^{4}}{4} |_{0}^{b} = \frac{b^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4} = \frac{b^{4}}{4}

Aline89 aktiv_icon

16:07 Uhr, 16.02.2009

ah okay danke

denke, dass ich es jetzt verstanden habe:-)

Vielen Dank an alle, die sich die Zeit genommen haben um mir zu helfen

Rentnerin

22:00 Uhr, 16.02.2009

@ BjBot,

ich warte als "didaktischer Laie" immer noch auf

"...Man kann es doch problemlos auch "schülergerecht" erklären oder ?"

bei der Aufgabe, Ober- und Untersumme für

f (x) = x^{3}

zu berechnen. (vgl. 13.38 Uhr). Wäre da nicht ein wirklich konstruktiver Beitrag wünschenswert?

577378

576988

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?