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Integralrechnung mit Variablen

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: 12. Klasse, Integral

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18:08 Uhr, 30.09.2010

Hallo Forum

= D

Ich muss ganz drigend herausfinden, wie man folgende Aufgaben löst...

Bestimme "k"

k > 0

so, dass der Flächeninhalt

\frac{4}{3}

beträgt.

f (x) = x^{3} - 2 k x^{2} + k^{2} x

bitte helft mir, ich habe nicht mal einen LösungsANSATZ...
außer vllt. der Stammfunktion...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

kalli

18:27 Uhr, 30.09.2010

Von welcher Fläche redest Du denn?
Ich gehe mal davon aus, dass Du die Fläche meinst, die zwischen der FUnktion und der x-Achse liegt.

Dazu musst Du:
1. die Nullstellen in Abhängigkeit von

k

ausrechnen.
2. Integral in Abhänigikeit von

k

bilden.
3. Integral mit den Nullstellen als Grenzen ausrechnen bzw. mit dem gewünschten Wert gleichsetzen.

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18:31 Uhr, 30.09.2010

Danke für deine Antwort! :-D)

Leider ist dies nicht angegeben...

wie kann ich denn die Nullstellen bzw. das Integral berechnen, wenn ich 2 Variablen habe?

kalli

18:38 Uhr, 30.09.2010

k

ist eine Konstante und spielt beim Integrieren keine Rolle. kannst Du behandeln, als wäre es beispielsweise eine 2.

Nullstellen bestimmst Du auch so, als wäre

k

eine normale Zahl, nur dass Sie halt "variabel aber fest" ist. Soll heißen, dass im konkreten Fall immer eine feste Zahl für das

k

eingesetzt wird und Du suchst nun das

k

. so dass die Bedingung erfüllt ist, dass der Flächeninhalt einen bestimmten Wert annimmt.

Bei den Nullstellen noch ein Tipp, wenn ich die Fkt richtig in Erinnerung habe kannst Du ein

x

ausklammern und es bleibt dann noch eine quadratische Gleichung, deren Nullstellen kein Problem verursachen sollte.

Slamdunk aktiv_icon

18:52 Uhr, 30.09.2010

Nullstelle:

y =

x^3-2kx^2+k^2x

y = x \cdot

(x^2-2kx+k)

1.Nullstelle

= 0

x 2, x 3 = - \frac{p}{2} \pm

wurzel aus

[{(\frac{p}{2})}^{2} - q]

x 2,3 = - - 2 \frac{k}{2} \pm

wurzel aus

[{(- 2 \frac{k}{2})}^{2} - k^{2}]

x 2,3 = - - 2 \frac{k}{2} \pm - 2 \frac{k}{2} - k

x 2,3 = 2 \frac{k}{2} \pm - 2 \frac{k}{2} - k

x 2 = - k

x 3 = 4 \frac{k}{2} - k

wie kann ich da jetzt weiter rechnen

: S

kalli

19:08 Uhr, 30.09.2010

Du kannst die zweier wegkürzen. Wenn ich das richtig erkannt habe steht nach dem quadrieren unter der Wurzel eine Null, so dass Du eine doppelte Nullstelle bei

k

hast.

Du hast dann also als Integrationsgrenzen 0 und

k

(wenn ich das richtig gesehen habe).

Nun kannst Du das Integral bilden und die

k

einsetzen. Anschließend mit

\frac{4}{3}

gleichsetzen und nach

k

auflösen.

pleindespoir aktiv_icon

08:50 Uhr, 01.10.2010

f (x) = x^{3} - 2 k x^{2} + k^{2} x

Grenzen:

f (x) = 0

0 = x^{3} - 2 k x^{2} + k^{2} x

0 = x (x^{2} - 2 k x + k^{2})

0 = x_{1}

0 = (x^{2} - 2 k x + k^{2})

Vorsicht: Binomische Formel beisst!

0 = (x - k)^{2}

0 = x - k

x_{2, 3} = k

Integral:

\frac{4}{3} = \int_{0}^{k} x^{3} - 2 k x^{2} + k^{2} x d x

\frac{4}{3} = [¼ x^{4} - ⅔ k x^{3} + ½ k^{2} x^{2}]_{0}^{k}

\frac{4}{3} = [¼ k^{4} - ⅔ k \cdot k^{3} + ½ k^{2} \cdot k^{2}] - 0

\frac{4}{3} = [¼ k^{4} - ⅔ k^{4} + ½ k^{4}]

\frac{4}{3} = k^{4} \cdot [¼ - ⅔ + ½]

\frac{16}{12} = k^{4} \cdot [\frac{3}{12} - \frac{8}{12} + \frac{6}{12}]

16 = k^{4} \cdot [3 - 8 + 6]

Klammer mit dem Taschenrechner ausrechnen:

16 = k^{4} \cdot 1

Da nur positive k gefragt sind, genügt es zu wissen, dass

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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