Integration durch Partialbruchzerlegung

Hallo,

ich habe folgende Fkt.:

${\displaystyle \int \frac{3\mathrm{x³<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+3\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-11\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+7}{(\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)\times (\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

...nun soll ich durch Partialbruchzerlegung integrieren...

1. Nullstellen des Nenners bestimmen:

${\displaystyle (\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)=0\to {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{01}=1}$

${\displaystyle (\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)=0\to }$ nicht reelle Nullstelle

2. Ich komme ständig auf folgende Darstellung:

${\displaystyle \frac{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)}+\frac{\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{(\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)}}$

Dies ist laut Musterlösung aber nicht richtig, das hier wär die richtige Lösung.

${\displaystyle \frac{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)}+\frac{\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)\mathrm{²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+\frac{\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{(\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)}}$

Wieso kommt ${\displaystyle (\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)\mathrm{²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ noch hinzu, wenn es doch nur eine Nullstelle für ${\displaystyle (\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)}$ gibt ?

Wie komme ich durch Koeffizientenvergleich auf A, B, C und D ?

GlG, Ama

Danke Björn & "m-at-he" !

Das mit den doppelten Nullstellen hab ich jetzt verstanden.

Bzgl. des Berechnens von A, B... hab ich aber noch Fragen.

Und zwar hab ich etwas über Koeffizientenvergleich gelesen,

bei welchem man den Nenner zuhält, ich glaub es ist besser,

wenn ich es anhand der Aufgabe zu erklärn versuch.

Durch die PBZ kommt man ja auf:

${\displaystyle \frac{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)}+\frac{\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)\mathrm{²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+\frac{\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{(\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)}}$

So, nun nehme ich A und halte den Nenner von A ${\displaystyle (\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)}$ zu - dann multipliziere ich A mit den Nennern von B und Cx+D:

$$\begin{gathered} {\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\times (\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)\mathrm{²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\times (\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)+ \\ \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\times (\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)\times (\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)+ \\ (\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\times (\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)\times (\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)\mathrm{²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}} \end{gathered}$$

So hab ich das irgendwo mal gelesen... jetzt kann ich eine Nullstelle des Nenners für x einsetzten und laut "Definition von xyz" komme ich dann auf die Werte A, B, C...

Bei mir hat das leider nicht so ganz funktioniert, vielleicht mache ich aber auch etwas falsch ?!

@ Björn:

Wenn ich alles auf den selben Nenner bringen muss, müsste das so aussehn...

${\displaystyle \frac{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)\mathrm{²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+\frac{\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{(\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)}}$

Mein Problem ist ${\displaystyle (\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)}$ und ${\displaystyle (\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)\mathrm{²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ auf den gleichen Hauptnenner zu bringen,

kann mir da vllt. jmd helfen ?