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Integration einer Exponentialfunktion

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Eulersche Zahl, Exponentialfunktion, Integration

studts aktiv_icon

12:59 Uhr, 27.09.2015

\int e^{- x} d x = - e^{- x} + C \in ℝ

Integral der eulerschen Zahl hoch minus eins nach de ix gleich minus eulersche Zahl hoch minus ix plus Ce Element der reellen Zahlen

Mir fehlen hier die Zwischenschrite.

Kann mir jemand helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Logarithmusgesetze - Einführung

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Matheboss aktiv_icon

13:22 Uhr, 27.09.2015

\int e^{- x} d x = . .

- - - - - - - - - - - - -

Substitution

z = - x

\frac{d z}{d x} = - 1

d x = - d z

- - - - - - - - - -

... = \int (- e^{z} d z) = - \int e^{z} d z = - e^{z} + c = - e^{- x} + c

studts aktiv_icon

14:36 Uhr, 27.09.2015

Einen Teil verstehe ich noch nicht.

Wie definiert man

d z

und

d x

separat? Das muss doch möglich sein, wenn sie als Zähler und Nenner eines Bruches in Erscheinung treten.

d z := . .

. ?

d x := . .

. ?

Hab im Wikipedia-Artikel über Differentiale sehr weitläufige Erklärungen gefunden, die mir nicht wirklich weitergeholfen haben.

Habs auch mit Grenzwertbildung von Zähler und Nenner (separat) des Differenzenquotienten versucht, aber das geht bei mir nicht auf (Nenner wird null).

Oder gibt es keine Definition? Damit kann ich mich nur schwer anfreunden, ist doch immerhin Mathe

(!)

ledum aktiv_icon

19:23 Uhr, 27.09.2015

Hallo
was meinst du mit definieren von

d x

bzw

d z

und das separat?
wenn du in

x

Richtung ein Stück

Δ x

gehst und

z = - x

musst du in

z

Richtung ein Stück

- Δ z

gehen.
dasselbe gilt fur

d x, d z

definiert ist

\frac{d z}{d x}

daraus kannst du

d z = \frac{d z}{d x} \cdot d x

umformen.
Aber, da man die Ableitung von

e^{- x}

kennt sollte man das Integral auch direkt sehen ohne jede substitution
ebenso woe etwa das integral von

sin (- x)

oder allgemein wenn

\int f (x) d x = F (x)

ist Int

f (- x) d x = - F (- x)

einfach weil

F' (- x) = . - F' (- x)

nach kettenregem. und die substitution macht nichts anderes als die Kettenregem

(f (g (x))' = f' (x)' g' (x)

also

\int (f (g (x)))' = \int f' (g (x)) \cdot g' (x)

hier ist

g (x) = - x, g' = - 1

Gruß ledum

studts aktiv_icon

20:11 Uhr, 27.09.2015

Zunächst einmal Danke an Matheboss für den korrekten Lösungsweg und an ledum für den netten Erklärungsversuch.

Es geht mir um eine separate, mathematische Definition von

d z

und

d x

(falls es sie gibt), die etwas präziser ist als die Symbole

d z

und

d x

selbst.

\frac{d z}{d x} = - 1

(als Quotient!)

\Rightarrow d z = ...

? und

d x = ...

?

Kann ich das vielleicht als Gleichung mit zwei Unbekannten auffassen, für die es unendlich viele Lösungspaare gibt?

{(1; - 1), (- 2; 2), ...}

Wenn ich mittels Äquivalenzumformung den Ausdruck

\frac{d z}{d x}

als Bruch betrachte und ihn in Zähler und Nenner aufteile, impliziert das dann nicht, dass Zähler und Nenner einen separaten Wert haben müssen?

Oder ist es doch kein mathematischer Term und die Äquivalenzumformung funktioniert nur durch Zufall?

Irgandwas ist doch da im Busch!

pleindespoir aktiv_icon

20:34 Uhr, 27.09.2015

\frac{d y}{d x}

stellt die kleinste (Limes gegen Null) Möglichkeit dar, die Steigung an der Funktion zu zeigen.

dx ist - seperat für sich gesehen - ziemlich winzig und dz ist auch fast nicht da

Als isolierte Werte sind diese nicht brauchbar, sondern nur im Zusammenspiel mit einer Aufsummierung (Integral) oder einer Relation (Ableitung).

studts aktiv_icon

16:29 Uhr, 03.10.2015

Danke nochmal an alle Beteiligten.

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