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Integration mit Gamma-Funktion

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Integration

Tags: Gamma-Funktion, Integral, Integration

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RogueLeader

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20:01 Uhr, 10.02.2010

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Berechnen Sie unter Verwendung der Gamma-Funktion das Integral:

Gamma

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

21:32 Uhr, 10.02.2010

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I

= \int_{0}^{\infty} x^{3} \cdot e^{5 - 6 x} d x

Sub.

\to 6 x = t \Rightarrow x = \frac{t}{6} \Rightarrow d x = \frac{1}{6} d t

dann sieht das Intergral ,wie folgendes :
I=

\int_{0}^{\infty} \frac{t^{3}}{6^{3}} \cdot e^{5} \cdot e^{- t} \cdot \frac{1}{6} d t = \frac{e^{5}}{6^{4}} \cdot \int_{0}^{\infty} t^{3} \cdot e^{- t} d t

bekannt ist

: Γ (x + 1) = x \cdot Γ (x)

Γ (x) = \int_{0}^{\infty} t^{x - 1} \cdot e^{- t} d t

Γ (4) = Γ (3 + 1) = 3 \cdot Γ (3)

Γ (3) = Γ (2 + 1) = 2 \cdot Γ (2)

Γ (2) = Γ (1 + 1) = 1 \cdot Γ (1)

Γ (4) = 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot Γ (1) = 6 \cdot \int_{0}^{\infty} e^{- t} d t = - 6 \cdot e^{- t} |_{0}^{\infty} = 0 + 6 = 6

I

= \frac{e^{5}}{6^{4}} \cdot Γ (4) = \frac{e^{5}}{6^{4}} \cdot 6 = \frac{e^{5}}{6^{3}}

RogueLeader

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21:48 Uhr, 10.02.2010

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1)Danke für die Antwort=>echt toll!

2)Wie funktioniert das genau, dass aus t³ 6 wird ??

mfg und Danke

Antwort

22:06 Uhr, 10.02.2010

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ich sehe gerade einen Fehler bei mir ..

das Prinzip ist die rekusrsive Eigenschaften der Gamma-Funktion auszunutzen

Γ (x + 1) = x \cdot Γ (x) = \int_{0}^{\infty} t^{x - 1} \cdot e^{- t} d t

bis man

x = 1

erreicht dann ist

\int_{0}^{\infty} t^{1 - 1} \cdot e^{- t} d t = \int_{0}^{\infty} e^{- t} d t \to

und dieses ist sehr einfach zu berechnen ..

Nach der Sub. erhalten wir dieses Intergral :
I=

\frac{e^{5}}{6^{4}} \cdot \int_{0}^{\infty} t^{3} \cdot e^{- t} d t = \frac{e^{5}}{6^{4}} \cdot \int_{0}^{\infty} t^{4 - 1} \cdot e^{- t} d t \to

(also

x = 4)

Γ (5) = Γ (4 + 1) = 4 \cdot Γ (4)

Γ (4) = Γ (3 + 1) = 3 \cdot Γ (3)

Γ (3) = Γ (2 + 1) = 2 \cdot Γ (2)

Γ (2) = Γ (1 + 1) = 1 \cdot Γ (1)

Γ (5) = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot Γ (1) = 24 \cdot \int_{0}^{\infty} e^{- t} d t = - 24 \cdot e^{- t} |_{0}^{\infty} = 0 + 24 = 24

I

= \frac{e^{5}}{6^{4}} \cdot Γ (4) = \frac{e^{5}}{6^{4}} \cdot 24

falls ich mich nicht noch mal verrechnet habe

. .

.
@ Edit: doch verrechnet

Γ (x) = \int_{0}^{\infty} t^{x - 1} \cdot e^{- t} d t

und gesucht ist

Γ (4)

aus welchem Grund ich bis 5 gerechnet habe keine Ahnung ....die richtige Lösung steht da oben mit

x = 4

Frage beantwortet

RogueLeader

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00:29 Uhr, 11.02.2010

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Total gut erklärt.....vielen Dank!

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