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Integration mit Wurzelfunktionen

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integral, Wurzelfunktion

Selena aktiv_icon

11:29 Uhr, 30.09.2008

Hallo Leute,

kann mir bitte jemand erklären wie man Wurzelfunktionen am besten integriert. Soweit ich weiss über Kreiseinheiten

{cos}^{2} + {sin}^{2} = 1

Aber so richtig wissen darüber habe ich nicht.

Ich bitte bitte um Hilfe.

Die Afgabe lautet:Wurzel aus

4 + 3 x - x^{2}

.

Ich habe eine lineare Zerlegung zuerst durchgeführt:

Wurzel(x-4)(x+1)

dann habe ich die 4 rausgezogen, weiss aber nicht ob das stimmt, 4Wurzel(x-1)(x+1)

das ergibt4Wurzel aus(x^2-1)

leider kommeich einfach nicht weiter

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Wurzelfunktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

JensW aktiv_icon

20:52 Uhr, 30.09.2008

"Ich habe eine lineare Zerlegung zuerst durchgeführt:"
Fehler 1
bzw hilf dir nicht weiter

"Dann habe ich die 4 rausgezogen, weiss aber nicht ob das stimmt,"
Fehler 2
Diesmal richtig falsch

Es gibt keine Allgemiene Regel mit der man eine Beliebige Funktion unter einer Wurzel intergiren koennte aber.

Eine Quadratische Funktion unter einer wurzel das geht

W u r z e l (4 + 3 x - x^{2})

erst mal Scheitelpunkstform

= . W u r z e l (6.25 - (x - 1, 5)^{2})

Also willst du Berechnen

\int W u r z e l (6.25 - (x - 1, 5)^{2}) d x

Substitution x-1,5 =u und dx =du
=

\int W u r z e l (6.25 - (u)^{2}) d u

Ausklammern von 6.25
=

\int 2, 5 W u r z e l (1 - (u / 2, 5)^{2}) d u

Substitution u/2,5=t und du=2,5 dt
=

\int 6.25 W u r z e l (1 - t^{2}) d t

Substitution t=sin(v) und dt=cos(v)dv
=

\int 6.25 W u r z e l (1 - s i n (v)^{2}) c o s (v) d v

\int 6.25 W u r z e l (1 - s i n (v)^{2}) c o s (v) d v

\int 6.25 W u r z e l (c o s^{(} v)) c o s (v) d v

\int 6.25 c o s^{2} (v) d v

Additionstheorem
=

\int 6.251 / 2 (1 - c o s (2 v)) d v

3.125 (v - 1 / 2 s i n (2 v)) + C

Additionstheorem

= 3.125 (v - s i n (v) c o s (v)) + C

= 3.125 (v - s i n (v) W u r z e l (1 - s i n^{2} (v))) + C

Resubstitution

= 3.125 (a r c s i n (t) - t W u r z e l (1 - (t)^{2})) + C

Resubstitution

= 3.125 (a r c s i n (2, 5 u) - u / 2, 5 W u r z e l (1 - (u / 2, 5)^{2})) + C

Resubstitution

= 3.125 (a r c s i n (2, 5 (x - 1, 5)) - (x - 1, 5) / 2, 5 W u r z e l (1 - ((x - 1, 5) / 2, 5)^{2})) + C

Mit Partieler intergration geht das etwas schneller aber ob man bei Wurzelthermen damit ueberhaupt weiter kommt haengt von der Aufgaeb ab...Darum habe ich hier den satndart weg vorgefuehrt...

Selena aktiv_icon

22:08 Uhr, 30.09.2008

Hallo Jens,

danke dir für deine ausführliche Antwort, habe es auch gut verstanden, aber bei einer Stelle kann ich ein Schritt nicht nachvollziehen undzwar:

6,25Wurzel1-t^2

setzt du

t =

sinv ok

d t =

cosv

aber dv= 1/cosv

somit muss man ja

daraus folgt

6.25

Wurzel1-(sin(v))^2

\cdot

1/cosv rechnen

kann sehr gut sein dass ich mich irre, ich hoffe ich erhalte von dir eine Antwort weil ich den Rest sehr gut verstanden habe:-))

JensW aktiv_icon

16:09 Uhr, 01.10.2008

Ich setze

t = s i n (v)

Daraus egibt sich

\frac{d t}{d v} = c o s (v)

also die Ableitung und daraus
dt=cos(v) dv

Im Integral steht am Anfang t und dt und das dt ersetze ich durch

c o s (v) d v

Man kann das ganze auch als

d v = d t / c o s (v)

Schreiben dann muss du das integral mit cos(v) erweitern

also schreiben

\int 6.25 W u r z e l 1 - (s i n (v))^{2} c o s (v) / c o s (v) d t

\int 6.25 W u r z e l 1 - (s i n (v))^{2} c o s (v) d t / c o s (v)

\int 6.25 W u r z e l 1 - (s i n (v))^{2} c o s (v) d v

Aber das Aendert am ergebnis nichts

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